6.2 MODELOS VAR NO ESTACIONARIOS Prof. Antoni Espasa 1 VAR X = c + Φ x + ... + Φp x + a , (1) t 1 t−1 t-p t en lo sucesivo para simplificar c = 0 2 También se puede escribir como: Δx = Πx + Γ Δx + ... + Γ Δx + a t t−1 1 t−1 p−1 t−p+1 t (2) en donde Γ = - (Φ + …+ Φ ) i = 1, …, p-1 i i-1 p Π = -(I - Φ … - Φ ) 1 p 3 Ejemplo. p = 2 x = Φ x + Φ x + a (4) t 1 t-1 2 t-2 t Δx = Π x + Γ Δ x + a (5) t t-1 1 t-1 t Γ = -Φ 1 2 Π = -(I -Φ - Φ ). 1 2 4 Ejemplo: ⎛ x ⎞ ⎛φ φ ⎞⎛ x ⎞ ⎛ a ⎞ ⎜ 1t ⎟ = ⎜ 11 12 ⎟⎜ 1t−1 ⎟ + ⎜ 1t ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ x φ φ x a (1a) ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2t 22 21 2t−2 2t ⎛Δx ⎞ ⎛φ -1 φ ⎞⎛ x ⎞ ⎛a ⎞ ⎜ 1t ⎟ = ⎜ 11 12 ⎟⎜ 1t−1 ⎟ + ⎜ 1t ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Δx φ φ −1 x a (2a) ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2t 21 22 2t−2 2t ⎛ φ −1 φ ⎞ Π = ⎜ 11 12 ⎟ ⎜ ⎟ φ φ −1 ⎝ ⎠ 21 22 5 CASOS POSIBLES EN EL EJEMPLO ANTERIOR Caso (1) r(Π) = 2 ⇒ x es estacionario t Caso (2) r(Π) = 0 ⇒ Π = 0 ⇒ Δx es estacionario t x no es estacionario t Hay 2 raíces unitarias. Caso (3) r(Π) = 1 ⇒ x : no es estacionario (sólo t hay una raíz unitaria). 6 ESTACIONARIEDAD : |I - Φ L| = - Π 1 Caso (1) |I - Φ L| = 0 : tiene todas las raíces fuera 1 del círculo unidad. Se trata de un VAR sobre variables estacionarias . Caso (2) Si r (Π) = 0 hay dos raíces unitarias en |I - Φ z| = 0. 1 Se trata de un VAR sobre variables en diferencias . 7 En efecto, si r (Π) = 0 φ = 1 = φ 11 22 φ = φ = 0 [B] 12 21 ⎛1 0⎞ ⎛1 0⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟z = 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 1 0 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (1- z)2 = 0 1− z 0 = 0 z2 − 2z +1 = 0 0 1− z 2 ± 0 1 z = = 2 1 En este caso x y x en este ejemplo son dos 1t 2t senderos aleatorios independientes. 8 Caso (3) Si en | I - Φ Z| =0 hay al menos una raíz 1 unitaria se cumple que | I - Φ | = 0 1 en consecuencia (1-Φ ) (1 - Φ ) - Φ Φ = 0 11 22 21 22 ó [A] [( ) ] 1− Φ − Φ Φ Φ = 22 12 21 11 1− Φ 22 Cuando hay una raíz se cumple [A] si además hay dos raíces se cumple [B] Se trata de un VAR con mecanismo de corrección del equilibrio :VEqCM. 9 Caso (3) con exogeneidad Siempre que Φ = 1 y Φ = 0 se cumple [A] 22 21 Es decir ⎛ x ⎞ ⎛φ φ ⎞⎛ x ⎞ ⎛ a ⎞ ⎜ 1t ⎟ = ⎜ 11 12 ⎟⎜ 1t−1 ⎟ + ⎜ 1t ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ x 0 1 x a ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2t 2t−1 2t ⎧ x =φ x +φ x + a 1t 11 1t−1 12 2t−1 1t ⎨ Δx = a ⎩ 2t 2t (9) 10