wr ears GIOVANNI PRODI ANALISI MATEMATICA Indice Prefazione, 7 Nozioni preliminari, 11 1, Un po’ di logica 2. Gli insiemi 3. L’insiemc-prodotto; relazioni; applicazioni 4, Relazioni di equivalenza; l"assioma della scelta 3. Relazioni d’ordine; il principio d’induzione 6. I numeri cardinali; gliinsiemi finiti 7. Gliinsiemi infiniti; ulterior: proprieta dei numeri cardinali I numeri reali, i numeri complessi, gli spazi R", 68 8. Definizione assiomatica del corpo dei numeri reali 9. Esistenza della radice qua- drata 10. Estremo superiore 11. Numeri decimali e rappresentazione dei numeri reali 12. Gli spazi R" 13. I numeri complessi Spazi metrici e topologici, 98 14. Spazi metrici 15. Spazi topologici 16. Basi di intorni; topologia subordinata 17. Applicazioni continue 18. Prodotto dispazitopologicie dispazi metrici 19, Con- tinuita delle funzioni reali Esercizi di ricapitolazione I limiti, 126 20. Definizione dilimite; proprieta generali 21. Limiti di funzioni reali; ampliamento della retta reale 22. Successioni; successioni generalizzate 23, Limite di una svc- cessione reale monotona 24. Massimo e minimo limite; criterio di Cauchy 25. Ulte- riori osservazioni sugli spazi metrici; spazi completi Esercizi di ricapitolazione Serie e somme infinite, 156 26. Le serie 27, Le serie a termini positivi 28. Serie a termini di segno qualunque 29. Somme infinite 30. Ulteriori proprieta delle somme infinite 31. Considerazioni conclusive; estensioni Esercizi di ricapitolazione 3. Spazi connessi e spazi compatti, 182 32. Spazi connessi 33. Zeri delle funzioni continue; funzioni inverse 34. Il teo- rema di Bolzano-Weierstrass; gli spazi metrici compatti 35, La continuita uniforme Esercizi di ricapitolazione Le funzioni esponenziali e le funzioni circolari, 209 36. Le funzioni esponenziali 37. Le funzioni circolari ¢ le loro proprieta 38. Costru- zione delle funzioni circolari 39, Alcune importanti relazioni di limite 40. La fun- zione esponenziale complessa; radici a-esime nel corpo complesso Calcolo differenziale per funzioni di una variabile, 235 41. La derivazione 42. Interpretazione geometrica della derivabilita; derivabilita e continuita 43. Regole di derivaziones 44. Teoremi sulle funzioni derivabili in ua intervallo 45. Teoremi di L'Hépital 46. Infiniti e infinitesimi 47. La formula di Taylor 48. Funzioni convesse (e concave) 49. La derivazione delle funzioni a valori vettoriali Esercizi di ricapitolazione . Teoria elementare dell’integrazione, 303 50. L'integrale sscondo Riemann S51. Integrabilita delle funzioni continue 52. L’in- tegrale esteso a un intervallo orientato; esistenza di una primitiva di una funzione conti- nua 53. Regole diintegrazione 54. Integrazione delle funzioni razionali 55. Altre classi di funzioni integrabili elementarmente 56. Calcolo numerico degli integrali definiti $7. Integrali impropri $8. Integrazione delle funzioni a valori in R"; retti- ficazione delle curve Esercizi di ricapitolazione ¢ complementl Indice analitico, 367 Prefazione In questo volume ho cercato di fissare i risultati che mi sono sem- brati didatticamente piu validi, nel mio insegnamento dell’analisi matematica agli allievi della facolta di scienze. Lo scopo principale che mi sono prefisso é stato quello di accorciare un po’ la distanza che oggi separa il livello dell’insegnamento da quello della ricerca. Ogni generazione di insegnanti si propone questo scopo. Tuttavia il compito é particolarmente difficile ora, perché il progresso della ricerca é assai piu rapido che in passato. In una materia cosi classica come l’analisi matematica, si tratta poi di rinnovare linguaggio e con- tenuto senza perdere i risultati piu vivi e i modi di pensare piu fecondi che il passato ci ha tramandato. In ciascun punto dell’esposizione ho cercato di tenere la tratta- zione al livello di generalita pit opportuno, cioé tale da garantire la migliore espressivita e chiarezza. Ho inserito numerosi esercizi; alcuni hanno to scopo di favorire la comprensione del testo e il pieno pos- sesso delle tecniche presentate, altri si propongono di dare un’idea delle possibili applicazioni della teoria svoita e di introdurre l’allievo a ulteriori campi di studio. La materia svolta é un po’ piu estesa di quella che puo essere pre- sentata in un anno di corso; tuttavia una parte dei capitoli 4, 5, 6, che é stata inserita per desiderio di completezza, pud essere omessa, almeno in una prima lettura, senza pregiudizio per la comprensione globale. Questo testo é particolarmente destinato agli studenti di matema- tica, ma ritengo possa essere usato con profitto anche dai migliori Studenti di altre discipline scientifiche, almeno nella misura in cui 8 PREFAZIONE essi chiedono alla matematica qualcosa di pitt di pure tecniche di cal- colo. Devo aggiungere, poi, che se mi sono deciso, dopo molte esi- tazioni, a pubblicarlo a stampa, é stato principalmente nella speranza di fare cosa utile a qualche studioso fuori della cerchia universita- ria; penso, in particolare, a quegli insegnanti di matematica che desi- derano rinnovare le loro basi culturali e che rischiano di essere fuor- viati da una cosiddetta ‘‘matematica moderna’ che spesso e pretenziosa nella forma quanto vuota di contenuto. Desidero ringraziare vivamente la dottoressa A. M. Micheletti per il prezioso aiuto datomi nella revisione del manoscritto e delle bozze, e la Redazione della Casa editrice, che ha curato la stampa con gusto e passione. G.P Pisa, aprile 1970 AVVERTENZA Sono state contrassegnate con asterisco alcune osservazioni un po’ difficili, che possono essere tralasciate in una prima lettura; cosi pure sono stati indicati con un asterisco gli esercizi pit difficili. Un piccolo qua- drato nero # segna la fine delle dimostrazioni. Capitolo 0 Nozioni preliminari In questo capitolo sono raccolte alcune nozioni che hanno carattere preliminare non solo a un corso di analisi, ma anche a un qualsiasi corso elementare di matematica. Premesse alcune semplici considerazioni di logica, si espongono i punti fonda- mentali della teoria degli insiemi. Come é noto, gli insiemi si prestano bene a essere impiegati come materia prima per tutte, © quasi tutte, le costruzioni della matematica d’oggi. Questo capitolo ha una struttura e una presentazione diverse da quelle dei capitoli successivi; ha carattere pit descrittivo che deduttivo. Alcune nozioni fondamentali sono assunte direttamente dalla nostra intuizione, sulla base di suggestioni fornite dal lin- guaggio comune; il nostro scopo, pid che di fare un’indagine sui fondamenti della matematica, é quello di costruire un linguaggio abbastanza chiaro e preciso che possa servire da supporto per i successivi sviluppi. 1. Un po’ di logica Ogni teoria matematica ha una struttura ipotetico-deduttiva: assume alcune premesse e€ ne trae mediante ragionamento le con- se¢guenze che interessano. Poiché tutti gli uomini, nella vita co- mune, ragionano — o, almeno, dovrebbero ragionare — non c’é, In via di principio, la necessita di fare uno studio preliminare sulla logica, che & appunto la scienza del ragionamento. Tuttavia ¢ interessante per noi fare qualche riflessione in questo campo sia per chiarire alcune ambiguita del linguaggio comune, sia per 12 NOZIONI PRELIMINARI | CAP. 0 mettere in luce alcuni procedimenti tipici che avremo occasione di applicare ripetutamente in seguito. Lo studio della logica non si puo compiere senza introdurre simboli appropriati che servano a rappresentare.1 nostri ragiona- menti in modo preciso. Veramente, le notazioni che introdurremo, pit. che dar luogo a un linguaggio completamente formalizzato, costituiranno un’abbreviazione e una chiarificazione del linguaggio comune, ma anche a questo modesto livello ci saranno molto utili nello sviluppo del corso, soprattutto quando (come accade spesso in analisi) si dovranno affrontare ragionamenti un po’ complicati. | Cominciamo con l’indicare con lettere (maiuscole, in corsivo calligrafico) certe proposizioni, o affermazioni. Ad esempio, pos- siamo convenire che: “x significhi “Ja rosa é un fiore’’, “@” — significhi “il leone é un animale domestico”, “@” — significhi “in ogni triangolo, la somma degli angoli interni é€ un angolo piatto” ecc. Come si vede, tra le proposizioni che sono prese in considera- zione, ve ne possono essere anche di false, ma é utile maneggiare le proposizioni prescindendo dal loro contenuto interno, e quindi dal fatto che possano 0 non possano essere dichiarate vere. Una prima riflessione sul nostro linguaggio abituale ci porta a riconoscere che le proposizioni possono essere legate fra loro dando luogo a proposizioni pil’ complesse; 1 termini di collega- mento vengono detti connettivi logici. I piu elementari sono i seguenti: fa? 6é 99 ée¢ bd Oo non (congiunzione) (disgiunzione) (negazione) * I connettivi “‘e” ed “o” sono binari, cioé si applicano a due ‘proposizioni, mentre il connettivo “non’’ si applica a una sola. Ad esempio, se # significa “soffia il vento” e 2 “fa freddo”, “P% e 2” significa “‘soffia il vento e fa freddo”, “FP o 2” significa “‘soffia il vento oppure fa freddo”, “non Y” significa “non soffia il vento”. Dunque, “F e 2” & vera solo se sono vere entrambe le proposizioni, “PF? o 2” & vera se é vera almeno una delle due, “non #” é falsa se F é& vera, ed é vera se F é falsa, § 1 | | NOZIONI PRELIMINARI 13 Notiamo che nel lingaggio comune (almeno in italiano), non sempre la disgiunzione viene intesa nel senso che abbiamo fissato (che é quello debole); a volte la disgiunzione viene intesa in senso forte: cioé si esclude che le proposizioni in questione siano en- trambe vere. Se io dico, ad esempio, “nuoto o annego” affermo che una delle due eventualita deve verificarsi, ed escludo che si yerifichino entrambe. Questi esempi mostrano che il linguaggio comune presenta ambiguita, come dicevamo. Spesso, nel linguaggio comune, é il significato della frase, o il contesto, a suggerirci linterpretazione esatta. {Il nostro buon senso logico ci porta ad ammettere che, a volte, due diverse espressioni possano essere logicamente equivalenti e che, quindi, possano essere sostituite Puna all’altra ovunque esse ricorrano. Ad esempio, noi ammettiamo che: “Pe 2 sia equivalentea “2e 7”, [1.1] #f sia equivalente a “non(non #)” ; [1.2] (la [1.2] @ la legge della doppia negazione). Cosi, ci convinciamo con esempi che: “non (Pe 2)” é da ritenersi equivalente a “(non P) o (non 2)”, [1.3] “non (7 o 2)” é da ritenersi equivalente a “(non P) e (non 2)’. [1.4] Lo studioso notera che vi é una certa simmetria nel comporta- mento dei connettivi “e’’ ed ‘‘o’’; le regole scritte possono anzi permettere — volendo — di eliminare uno di questi connettivi: ad esempio, in luogo di “# e 2”, possiamo scrivere: “non ((non ?) o (non 2))”. Ii compito fondamentale della logica é lo studio della dedu- zione; nel linguaggio comune c’é un connettivo che esprime la possibilita di compiere la deduzione: é il connettivo condizionale (“‘se” ... “allora’’). Ad esempio, diciamo “‘se soffia il vento, (allora) fa freddo’”’, Scriviamo dunque, dando a # e 2 il significato di prima, 7 > 9; il simbolo = viene detto connettivo di impli- cazione. E senz’altro conveniente introdurre questo scgno. Tut-