c u i c i t ˘ ˘ ANALIZA MATEMATICA. a CALCUL INTEGRAL M Culegere de probleme n Lucian Maticiuc a i c u L 2 c u i c i t a M n a i c u L c u Cuprins i c i 1 Integraladefinita˘.Primitive t 1 2 Extindereano¸tiuniideintegrala˘ a 27 3 Integralecurbilinii 43 M 4 Integraladubla˘ 49 5 Integraledesuprafa¸ta˘ 57 6 Integralatripla˘ 71 7 Ecuat¸iidiferent¸iale n 83 a i c u L c u i c i t a M n a i c u L c u Capitolul 1 i c Integrala definita˘. Primitive i t a 1. Sa˘ searateca˘  (cid:90) a M (cid:90) a  2 f(x)dx , daca˘ f estefunc¸tiepara˘, f(x)dx = 0 −a  0 , daca˘ f estefunc¸tieimpara˘. Rezolvare: Astfelavemconformprnoprieta˘¸tiideaditivitateca˘ (cid:90) a (cid:90) 0 (cid:90) a f(x)dx = f(x)dx+ f(x)dx. a −a −a 0 Acumdaca˘ f estepara˘,adica˘ i f(−x) = f(x) , ∀x ∈ [−a,a], c atunciˆınprimaintegrala˘ facschimbareadevariabila˘ u x = −y ⇔ y = −x LDeaiciob¸tinemca˘ dx = −dyprecums¸inoilelimitedeintegrare: daca˘ x = −aatunciy = as¸idaca˘ x = 0atunciy = 0. Deciintegraladevine,conformschimba˘riidevariabila˘, (cid:90) 0 (cid:90) 0 (cid:90) 0 (cid:90) 0 f(x)dx = f(−y)(−dy) = f(y)(−dy) = − f(y)dy −a a a a 1 2 1.Integraladefinita˘.Primitive Dar,conformuneiconven¸tii c (cid:90) b (cid:90) a f(x)dx = − f(x)dx u a b deci (cid:90) 0 (cid:90) a (cid:90) a f(x)dx = f(y)dy = if(x)dx −a 0 0 c deundeob¸tinemca˘ (cid:90) a (cid:90) 0 (cid:90) a (cid:90) a i f(x)dx = f(x)dx+ f(x)dx = 2 f(x)dx. −a −a 0 0 t Daca˘ f esteimpara˘,adica˘ a f(−x) = −f(x) , ∀x ∈ [−a,a] , M atunciˆınprimaintegrala˘ facaceeas¸ischimbareadevariabila˘ x = −y ⇔ y = −x Deaiciob¸tinemdx = −dy s¸ilimiteledeintegraredevin: daca˘ x = −a atunciy = as¸idaca˘ x = 0atunciy = 0. n Deciintegraladevine,conformschimba˘riidevariabila˘, (cid:90) 0 (cid:90) 0 (cid:90) 0 (cid:90) 0 f(x)dx = f(−y)(−dy) = −f(y)(−dy) = f(y)dy a −a a a a (cid:90) a (cid:90) a = − f(y)dy = − f(x)dx i 0 0 cdeci (cid:90) 0 (cid:90) a (cid:90) a f(x)dx = − f(y)dy = − f(x)dx. u −a 0 0 Ob¸tinemdecica˘ (cid:90) a (cid:90) 0 (cid:90) a L f(x)dx = f(x)dx+ f(x)dx = 0 −a −a 0 2. Ara˘ta¸ti,folosindparitateafunc¸tieidesubintegrala˘,ca˘ (cid:90) 1 arctgx (cid:90) 1/2 1+x a) dx = 0,b) (cosx)ln dx = 0, ex+e−x 1−x −1 −1/2 3 (cid:90) π/4 (cid:90) 1 x3 c) sinx·tg2x = 0,d) dx = 0 c 1+x2 −π/4 −1 Rezolvare: u Aplic exerci¸tiul anterior. Astfel vom ara˘ta ca˘ func¸tiile care se inte- greaza˘ suntimpare. i Pentruaceastafolosimparitateafunc¸tiilortrigonometrice: c sin(−x) = −sinx , cos(−x) = cosx tg(−x) = −tgx , arctg(−x) = −airctgx a)Nota˘mcuf : [−1,1] → R,f(x) = arctgx . t ex+e−x arctg(−x) −aarctgx f(−x) = = = −f(x) e−x+e−(−x) e−x+ex b),c),d)Tema˘ (sevafolosis¸ifaptulcMa˘ lny−1 = −lny ,∀y > 0). 3. Fie f : R → R, o func¸tie continua˘ s¸i periodica˘ de perioada˘ T > 0. Sa˘ searateca˘ areloc (cid:90) a+T (cid:90) T f(x)dx = f(x)dx , ∀a ∈ R a 0 s¸iapoisa˘ secalculeze: n (cid:90) 2nπ (cid:90) 2nπ a) |sinx|dx,n ∈ N, b) |cosx|dx,n ∈ N 0 0 a Rezolvare: Func¸tia f periodica˘ ˆınseamna˘ ca˘ f(x+T) = f(x) , ∀ x ∈ R. Avem i conformproprieta˘¸tiideaditivitateca˘ c (cid:90) a+T (cid:90) 0 (cid:90) T (cid:90) a+T f(x)dx = f(x)dx+ f(x)dx+ f(x)dx a a 0 T u Iˆnultimaintegrala˘ facschimbareadevariabila˘ x = y+T ⇔ y = x−T L De aici ob¸tinem dx = dy s¸i limitele de integrare devin: daca˘ x = T atunci y = 0 s¸i daca˘ x = a+T atunci y = a. Deci integrala devine, conformschimba˘riidevariabila˘, (cid:90) a+T (cid:90) a (cid:90) a (cid:90) 0 f(x)dx = f(y+T)dy = f(y)dy = − f(y)dy T 0 0 a 4 1.Integraladefinita˘.Primitive deci c (cid:90) a+T (cid:90) 0 (cid:90) T (cid:90) a+T f(x)dx = f(x)dx+ f(x)dx+ f(x)dx u a a 0 T (cid:90) T = f(x)dx 0 i a)S¸timca˘ sins¸icossuntperiodicedeperiodicedeperioada˘ 2π c sin(x+2π) = sinx , ∀x ∈ R cos(x+2π) = cosix , ∀x ∈ R t decievidents¸ifunc¸tiile|sinx|,|cosx|. Conformcelordemaisus,avemaca˘ (cid:90) 2nπ |sinx|dx M 0 (cid:90) 2π (cid:90) 4π (cid:90) 2nπ = |sinx|dx+ |sinx|dx+···+ |sinx|dx 0 2π 2(n−1)π (cid:90) 2π (cid:90) 2π (cid:90) 2π = |sinx|dx+ |sinx|dx+···+ |sinx|dx 0 0 0 (cid:90) 2nπ = n |sinx|dx. 0 Iar a (cid:90) 2π (cid:90) π (cid:90) 2π |sinx|dx = |sinx|dx+ |sinx|dx i0 0 π (cid:90) π (cid:90) 2π c = sinxdx− sinxdx = 0 π = (−cosx)|π − (−cosx)|2π = 4 u 0 π deci (cid:90) 2nπ (cid:90) 2π |sinx|dx = n |sinx|dx = 4n L 0 0 b)Tema˘. 4. Sa˘ secalculezeurma˘toareleintegrale(folosindtabelul): (cid:90) (cid:90) (cid:90) (cid:90) dx (cid:112) dx dx a) √ , b) 2pxdx,c) √ , d) , 8−x2 4+x2 5+x2 5 (cid:90) (cid:90) (cid:90) (cid:90) dx dx dx dx e) √ , f) √ , g) √ , h) , c x x x 5x−2 a−x (cid:90) dx (cid:90) dx (cid:90) √ (cid:90) xdx i) , j) , k) 2−3xdx,l) √ u, 3x2+5 7x2−8 x2+1 (cid:90) (cid:90) dx 3 m) √ , n) dx. 7−5x2 5x2+7 i 5. Sa˘ se calculeze urma˘toarele integrale (folosind metocda de integrare prinpa˘rt¸i): (cid:90) (cid:90) (cid:90) a) (cid:0)x2+5x(cid:1)e2xdx, b) eaxsin(bx) dx, c)ix2sinxdx, t (cid:90) (cid:90) (cid:90) (cid:112) d) ln3xdx, e) x3ln2xdx, f) x2+adx,a ∈ R, a (cid:90) (cid:112) (cid:90) lnx (cid:90) (cid:90) (cid:18)x−2(cid:19)(cid:48) g) a2−x2dx, h) dx = x−3lnxdx = lnxdx = x3 M −2 ... Rezolvare: Daca˘f s¸igsuntfunc¸tiicuderivatelecontinuepedomeniuldedefini¸tie I atunciarelocformuladeintegrareprinpa˘r¸ti: (cid:90) (cid:90) f(x)g(cid:48)(x)ndx = f(x)g(x)− f(cid:48)(x)g(x)dx. a)Folosime2x = 1 (cid:0)e2x(cid:1)(cid:48): 2 (cid:90) (cid:0)x2+5x(cid:1)e2xadx = (cid:90) (cid:0)x2+5x(cid:1) 1 (cid:0)e2x(cid:1)(cid:48)dx 2 (cid:90) = (cid:0)x2+5xi(cid:1) 1e2x− 1 (cid:0)x2+5x(cid:1)(cid:48)e2xdx = 2 2 c (cid:90) = 1 (cid:0)x2+5x(cid:1)e2x− 1 (2x+5)e2xdx = aplica˘mˆınca˘ odata˘ 2 2 u (cid:90) = 1 (cid:0)x2+5x(cid:1)e2x− 1 (2x+5) 1 (cid:0)e2x(cid:1)(cid:48)dx 2 2 2 (cid:18) (cid:90) (cid:19) L= 1 (cid:0)x2+5x(cid:1)e2x− 1 (2x+5) 1e2x− 1 (2x+5)(cid:48)e2xdx = 2 2 2 2 (cid:18) (cid:90) (cid:19) = 1 (cid:0)x2+5x(cid:1)e2x− 1 1 (2x+5)e2x− 1 2e2xdx = 2 2 2 2 = 1 (cid:0)x2+5x(cid:1)e2x− 1 (2x+5)e2x+ 1 · 1e2x+C , C ∈ R 2 4 2 2 6 1.Integraladefinita˘.Primitive b)Folosimeax = 1 (eax)(cid:48): a c u (cid:90) (cid:90) 1 eaxsin(bx) dx = (eax)(cid:48)sin(bx)dx a i (cid:90) 1 1 = eaxsin(bx)− eax(sin(bx))(cid:48)dx = a a c (cid:90) 1 b = eaxsin(bx)− eaxcos(bx)dx = aplica˘mˆınca˘ odata˘ a a i (cid:90) = 1eaxsin(bx)− b 1 (eax)t(cid:48)cos(bx)dx a a a (cid:18) a(cid:90) (cid:19) 1 b = eaxsin(bx)− eaxcos(bx)− eax(cos(bx))(cid:48)dx = a a2 (cid:18)M (cid:90) (cid:19) 1 b = eaxsin(bx)− eaxcos(bx)+ beaxsin(bx)dx = a a2 1 b b2 (cid:90) = eaxsin(bx)− eaxcos(bx)− eaxsin(bx)dx a a2 a2 n Deci a (cid:90) (cid:90) b ieaxsin(bx) dx+ eaxsin(bx)dx a2 c1 b = eaxsin(bx)− eaxcos(bx)+C , C ∈ R a a2 u(cid:90) a2 (cid:18)1 b (cid:19) ⇔ eaxsin(bx) dx = eaxsin(bx)− eaxcos(bx) +C, C ∈ R a2+b a a2 L Observa¸tie: putemplecas¸idelasin(bx) = −1 (cos(bx))(cid:48). b c)Tema˘ (folosimsinx = −(cosx)(cid:48)).