Notes de cours ANALYSE FONCTIONNELLE Guillaume CARLIER ENS, 2009-2010 2 3 Table des mati`eres 1 Espaces vectoriels topologiques localement convexes 6 1.1 D´efinitions et propri´et´es premi`eres . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Bornitude, continuit´e, suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3 Applications lin´eaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4 Limites inductives et topologie de D(Ω) . . . . . . . . . . . . . 23 1.5 Th´eor`emes de Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2 Introduction `a la th´eorie des distributions 38 2.1 Quelques r´esultats pr´eliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2 D´efinitions et propri´et´es premi`eres des distributions . . . . . . 45 2.3 Convolution et r´egularisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.4 Transformation de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.5 Solution fondamentale du Laplacien . . . . . . . . . . . . . . . 64 3 Espaces de Banach et topologies faibles 67 3.1 Topologie faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.2 Topologie faible-∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.3 Espaces r´eflexifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.4 Espaces s´eparables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.5 Espaces uniform´ement convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4 Op´erateurs lin´eaires, op´erateurs compacts 81 4.1 G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.2 Cons´equences de la th´eorie de Baire . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.3 Op´erateurs compacts, alternative de Fredholm . . . . . . . . . 84 4.4 D´ecomposition spectrale des op´erateurs compacts autoadjoints 89 5 Espaces Lp 91 5.1 Rappels d’int´egration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.2 Propri´et´es ´el´ementaires des espaces Lp . . . . . . . . . . . . . 93 5.3 Dualit´e, r´eflexivit´e, s´eparabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4 5.4 Compacit´e dans Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 5.5 Compacit´e faible dans L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 6 Espaces de mesures 110 6.1 Rappels sur les espaces de fonctions continues . . . . . . . . . 110 6.2 Th´eor`eme de Riesz et mesures de Radon dans le cas compact . 112 6.3 Mesures de Radon dans le cas localement compact . . . . . . . 121 6.4 Th´eor`eme de Radon-Nikodym, d´esint´egration des mesures . . 128 6.5 Dualit´e convexe et transport optimal . . . . . . . . . . . . . . 132 7 Espaces de Sobolev et EDP’s elliptiques lin´eaires 141 7.1 Cas de la dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 7.2 D´efinitions et propri´et´es premi`eres en dimension quelconque . 148 7.3 Injections de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 7.4 Espace W1,p et traces de fonctions W1,p . . . . . . . . . . . . . 160 0 7.5 Formulation variationnelle de quelques pro- bl`emes aux limites 163 7.6 Principe du maximum et r´egularit´e elliptique . . . . . . . . . . 167 8 Calcul des variations et EDP’s elliptiques non-lin´eaires 174 8.1 M´ethode directe du calcul des variations . . . . . . . . . . . . 175 8.2 Th´eor`emes de point-fixe et applications . . . . . . . . . . . . . 178 5 Chapitre 1 Espaces vectoriels topologiques localement convexes 1.1 D´efinitions et propri´et´es premi`eres Danstoutcequisuit,E d´esigneraunespacevectorielsurR,lesd´efinitions et r´esultats qui suivent s’´etendent au cas complexe (une fois correctement ´etendues les notions de convexit´e et de sym´etrie). D´efinition 1.1 On appelle espace vectoriel topologique (evt) tout ev E muni d’une topologie rendant continues les applications (x,y) ∈ E ×E 7→ x+y, et (λ,x) ∈ R×E 7→ λx. Si E est un evt, alors les translations τ (τ (y) := x + y) sont des y x hom´eomorphismes de E, et donc si V est un syst`eme fondamental de voisi- nagesde0,{τ (V) = x+V, V ∈ V}estunsyst`emefondamentaldevoisinages x de x. De mˆeme, si λ ∈ R∗, l’homoth´etie y 7→ λy est un hom´eomorphisme de E.SiU estunvoisinagede0etx ∈ E alorspourλ ∈ Rsuffisammentpetiten valeur absolue λx ∈ U, on dit alors que les voisinages de 0 sont absorbants. On notera ´egalement qu’une application lin´eaire entre evt est continue si et seulement si elle l’est en 0. Enfin, on rappelle qu’un espace topologique est s´epar´e d`es que tout couple de points distincts poss`ede des voisinages disjoints (ce qui est toujours le cas dans les espaces m´etriques). Exercice 1.1 (Histoire de manipuler la d´efinition) Montrer que si E est un evt, 0 poss`ede un syst`eme fondamental de voisinages ´equilibr´es (V est ´equilibr´e si λV ⊂ V pour λ ∈ [−1,1]). L’evt E est s´epar´e si et seulement si {0} est ferm´e. 6 Exercice 1.2 Montrer qu’un evt s´epar´e localement compact (i.e. tel que chaque point admet un voisinage compact) est n´ecessairement de dimension finie. Exercice 1.3 (Histoire de r´egler une bonne fois pour toutes le cas de la dimension finie) Soit E un evt s´epar´e de dimension finie, montrer que sa topologie co¨ıncide avec celle d´efinie par une norme. Evidemment, la topologie induite par une norme sur E fait de E un evt mais dans les applications la structure d’espace vectoriel norm´e s’av`ere par- fois trop rigide et inadapt´ee (car, par exemple, la boule unit´e n’est jamais relativement compacte dans un espace vectoriel de dimension infinie...). In- versement, la notion d’evt seule est souvent trop g´en´erale pour les analystes et en pratique, les espaces fonctionnels que nous rencontrerons auront en fait davantage de structure. Avant d’aller plus loin, consid´erons le cas (important et pas si particulier que cela comme nous le verrons au Th´eor`eme 1.1) d’une topologie engendr´ee par une famille de semi-normes. D´efinition 1.2 Soit E un R-ev, on appelle semi-norme sur E toute appli- cation p : E → R , v´erifiant : + p(x+y) ≤ p(x)+p(y),∀(x,y) ∈ E ×E, p(λx) = |λ|p(x),∀(x,λ) ∈ E ×R. Soit P une famille de semi-normes sur E, on dit que P s´epare les points (ou est s´eparante) de E si p(x) = 0, ∀p ∈ P ⇒ x = 0. Soit P = {p ,i ∈ I}, une famille de semi-normes sur E, x ∈ E, r > 0 et i J ⊂ I, finie, on d´efinit la P-boule ouverte de centre x, B (x,r) par J \ B (x,r) = B (x,r) = {y ∈ E : p (x−y) < r, ∀j ∈ J}. J pj j j∈J Notons que B (x,r) = x+B (0,r) et que par d´efinition mˆeme les P-boules J J B (x,r) sont des ensembles convexes de E (on rappelle qu’un sous ensemble J C de E est convexe si tx+(1−t)y ∈ C pour tout (t,x,y) ∈ [0,1]×C ×C). La topologie associ´ee `a une famille de semi-normes est d´efinie comme suit : 7 D´efinition 1.3 Soit E un R-ev et P = {p ,i ∈ I}, une famille de semi- i normes sur E, les ouverts de la topologie associ´ee `a P sont les parties U de E telles que pour tout x ∈ U, il existe r > 0 et J ⊂ I fini tels que B (x,r) ⊂ U. J Autrement dit, la topologie associ´ee `a P est celle dont les P-boules ou- vertes centr´ees en x forment un syst`eme fondamental de voisinages de x. Il est ais´e de voir que E muni de cette topologie est un evt et qu’il est s´epar´e si et seulement si la famille P est s´eparante. Notons que si P et P0 sont deux familles de semi-normes sur E v´erifiant P ⊂ P0 alors la topologie associ´ee `a P0 est plus fine que celle associ´ee `a P. Par ailleurs, chaque point de E poss`ede pour cette topologie un syst`eme fondamental de voisinages form´e d’ensembles convexes. La topologie associ´ee `a une famille de semi-normes est donc localement convexe au sens de la d´efinition suivante : D´efinition 1.4 Un R-espace vectoriel topologique localement convexe (evtlc) est un evt dont chaque point poss`ede un syst`eme fondamental de voisinages form´e d’ensembles convexes. On peut ´evidemment dans la d´efinition pr´ec´edente remplacer ”chaque point” par ”un point”. Notez aussi que l’evt E est un evtlc ssi 0 poss`ede une syst`eme fondamental de voisinages convexes et sym´etriques (un sous en- semble C de E est dit sym´etrique si C = −C). En remarquant que dans un evtlc, l’int´erieur d’un convexe d’int´erieur non vide est encore convexe (exer- cice facile), on notera qu’on peut aussi rajouter ”ouverts” dans la d´efinition qui pr´ec`ede. Lemme 1.1 Soit E un evtlc de topologie T d´efinie par la famille de semi- normes P et soit q une semi-norme sur E alors q est continue (pour T ) si et seulement s’il existe C ≥ 0, k ∈ N∗ et p ,...,p dans P telles que 1 k q ≤ C sup p . i i=1,...,k Preuve: Si q est continue, il existe un voisinage de 0 sur lequel q ≤ 1, il existe donc aussi une P-boule sur laquelle q ≤ 1, l’in´egalit´e cherch´ee s’obtient alors facilement par homog´en´eit´e. R´eciproquement, supposons qu’il existe C ≥ 0, k ∈ N∗ et p ,...,p dans P telles que 1 k q ≤ C sup p . i i=1,...,k 8 Soit x ∈ E et ε > 0, alors on a |q(x)−q(y)| ≤ q(x−y) ≤ ε pour tout y dans la P-boule {y ∈ E, p (x−y) < (1+C)−1ε, i = 1,...,k} i ce qui montre la continuit´e de q. 2 Remarque. Unecombinaisonlin´eaire`acoefficientsposititifsdesemi-normes est encore une semi-norme de mˆeme qu’un supremum d’un nombre fini de semi-normes, si p est une semi-norme sur E et T un application lin´eaire de F vers E alors p◦T est une semi-norme sur F. Si P est une famille de semi- normes sur E, la topologie qu’elle d´efinit est la mˆeme que celle d´efinie par la famille (dite filtrante) P0 form´ee par les suprema de familles finies d’´el´ements de P. Exemples Passons maintenant en revue quelques exemples de familles de semi- normes naturellement associ´ees `a quelques espaces fonctionnels usuels. Dans ce qui suit Ω d´esigne un ouvert de Rd et K un compact d’int´erieur non vide inclus dans Ω, une suite exhaustive de compacts K de Ω est une suite de j compacts inclus dans Ω tels que K ⊂ int(K ) et Ω = ∪ K (par exemple j j+1 j j K := {x ∈ Rd : |x| ≤ j, d(x,Rd \ Ω) ≥ 1/j}). Un multi indices α j est un ´el´ement (α ,...,α ) de Nd, sa longueur not´ee |α| est par d´efinition 1 d |α| = Pd α . Pour α = (α ,...,α ) et β = (β ,...,β ) deux multi-indices, on i=1 i 1 d 1 d notera – α ≤ β si α ≤ β , pour i = 1,...,d, i i – α±β = (α ±β ,...,α ±β ), 1 1 d d – α! = α !...α !, et pour β ≤ α 1 d α! Cβ = , α β!(α−β)! – si x ∈ Rd, xα = xα1...xαd, 1 d – si f ∈ C∞(Rd)(= C∞(Rd,R) ou C∞(Rd,C)), et α 6= (0,...,0), ∂|α|f ∂αf = , ∂α1x1...∂αdxd et ∂αf = f si α = (0,...,0). On rappelle aussi, `a toutes fins utiles, la formule de Leibniz : si f,g ∈ C∞(Rd)2 : X ∂α(fg) = Cβ∂α−βf∂βg. (1.1) α β≤α 9 Si f ∈ C(Ω)(= C(Ω,R) ou C(Ω,C)), on appelle support de f et l’on note supp(f) le compl´ementaire du plus grand ouvert sur lequel f est nulle, qui est aussi l’adh´erence de {x ∈ Ω : f(x) 6= 0}. – Si K est un compact de Rd, on note C(K) l’espace des fonctions conti- nues de K `a valeurs dans R ou C, on le munit classiquement de la norme uniforme kfk := supkf(x)k x∈K (qui en fait un Banach). On peut ´egalement munir C(K) de la famille de semi-normes p (f) := |f(x)| avec x ∈ K. x – Si Ω est un ouvert de Rd, m ∈ N et K un compact de Ω pour f ∈ C∞(Ω), posons p (f) := sup sup|Dαf(x)|. m,K α∈Nd:|α|≤mx∈K L’espaceC(Ω)(= C(Ω,R)ouC(Ω,C))desfonctionscontinuessurΩest muni de la famille de semi normes p = p avec K compact de Ω (ou K 0,K simplementlafamillep avecunesuiteexhaustivedecompactsK de 0,Kj j Ω).C (Ω)d´esignel’espacedesfonctionscontinuessurΩ`asupportdans K K (i.e. nulles en dehors de K) et C (Ω) d´esigne l’espace des fonctions c continues sur Ω `a support compact i.e. : C (Ω) = ∪ C (Ω) c j Kj Pour m ∈ N∪{+∞}, on d´efinit de mˆeme l’espace Cm(Ω) des fonctions de classe Cm sur Ω, on le munit de la famille p . On d´efinit de m,Kj mˆeme les espaces de fonctions de classe Cm `a support compact, Cm(Ω) K et Cm(Ω). c – OnnotedemˆemeD (Ω)l’espacedesfonctionsC∞ `asupportdansK et K D(Ω) := C∞(Ω)l’espacedesfonctionsC∞ `asupportcompact.Latopo- c logiedeD (Ω)estd´efinieparlafamilledeseminormes{p , m ∈ N} K m,K (nous verrons plus loin que D (Ω) est m´etrisable et complet pour cette K topologie). Une ”bonne” topologie sur D(Ω) (de mˆeme que sur C (Ω) c ou Cm(Ω)) est plus subtile `a d´efinir (voir le paragraphe 1.4). c – Soit p ∈ [1,∞), Lp (Ω) est l’espace des fonctions fonctions mesurables loc f telles que pour tout compact K de Ω (cid:18)Z (cid:19)1/p q (f) := |f|p < ∞. K,p K On munit Lp (Ω) de la famille de semi-normes q ou` K parcourt loc K,p l’ensemble des compacts de Ω (une suite exhaustive suffit´evidemment). 10