Delftse Universitaire Pers Complexe functietheorie Fourier- en Laplace-transformaties Tentamenopgaven met uitwerkingen H. Bavinck libliotheek TU Delft \\1\',lIl',I''11\,I\\'1'1'II\"1'1 C OOOJlS1J970 Delftse Universitaire Pers 2414 406 3 CIP-GEGEVENS KONINKLIJKEBIDLIOTHEEK, DEN HAAG Bavinck, H. Complexe functietheorieFourier-enLaplacetransformaties:tentamenopgaven met uitwerkingenIH. Bavinck. -Delft:DelftseUniversitaire Pers.-IJl. Uitg.inopdracht van:Vereniging voorStudie-enStudentenbelangenteDelft.-Oorspr. uitg.:Delft: DelftseUitgeversMaatschappij, 1989 ISBN 90-407-1153-4 NUGI 811 Trefw.: functietheorie ©VSSD Tweede druk 1995 Uitgegeven door: DelftseUniversitaire Pers Stevinweg 1,2628CNDelft tel.015-783254, telefax 015-781661. Inopdracht van: Vereniging voorStudie-enStudentenbelangenteDelft Poortlandplein6,2628BMDelft tel.015-(2)782124,telefax 015-(2)787585,[email protected] Allerechten voorbehouden.Niets uitdezeuitgavemagworden verveelvoudigd,opgeslagen ineen geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaargemaakt, inenige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of op enige andere manier,zonder voorafgaande schriftelijketoestemmingvandeuitgever. All rights reserved. No part ofthis publication may be reproduced, stored in a retrieval system, ortransmitted, inanyform orbyanymeans,electronic, mechanical, photocopying, recording,orotherwise, withoutthepriorwrittenpermissionofthepublisher. ISBN 90-407-1153-4 3 Voorwoord De vraagstukken in deze bundel zijn ontleend aan tentamens over Complexe Functietheorie en Fourier- en Laplacetransformaties die in de jaren 1987 t/m 1989 aan de Technische Universiteit te Delft zijn gehouden. Het betreft hier tentamens voor een aantal verschillende vakken bestemd voor studenten van diverse faculteiten, nl. a 14A Functietheorie TN 2 a 18 Functietheorie Et em Mk0 2 3 4 a 23B Functietheorie Wi en In0 2 3 4 a 180A Fourier- en Laplacetransformaties Mk: 4,LR: 4,Wb:,ST: 4,CT:,MT: a 180B Complexe Analyse Mk: 4,LR: 4,Wb:,ST: 4,CT:,MT: Ik ben me bewust van het gevaar dat studenten deze vraagstukkenbundel wellicht verkeerd zullen gebruiken. Indien men enig profijt van dit boekje wil hebben, zal men de opgaven eerst zelf moeten proberen te maken alvorens naar de uitwerkingen achterin te gaan kijken. Als gebruikers van dit boekje fouten of kleine slordigheden mochten constateren, zou ik dat gaarne van hen vernemen. Veel dank ben ik verschuldigd aan René Swarttouw die de tekst kritisch heeft bekeken, waardoor verschillende fouten konden worden hersteld. Delft, november 1989 H. Bavinck Bij de tweede druk is een aantal correcties aangebracht. Delft, april 1995 H. Bavinck 4 Inhoud VRAAGSTUKKEN 1. Differentieerbaarheid 5 1.1 2. Functies. Conforme afbeeldingen 7 3. Singulariteiten. Laurentreeksen 10 4. Integratie. Residuenstelling 13 5. Nulpunten. Argumentenprincipe 19 6. Fourierreeksen 21 7. Fouriertransformatie 23 8. Laplacetransformatie 26 1.2 UITWERKINGEN 1.3 1. Differentieerbaarheid 29 2. Functies. Conforme afbeeldingen 32 3. Singulariteiten. Laurentreeksen 37 4. Integratie. Residuenstelling 41 5. Nulpunten. Argumentenprincipe 54 6. Fourierreeksen 59 1.4 7. Fouriertransformatie 65 8. Laplacetransformatie 73 1.5 5 Vraagstukken 1. Differentieerbaarheid 1.1 (16-6-87) a18 z is een complex getal. Men stelt Re z =x: lm z =y. f is een analytische functie die aan het complexe getal z het complexe getal w = f(z) toevoegt. Gegeven is: Re w = log (x2 + y2) + Y en f(i) 1 + i. Bereken lm w voor y ~ O. 1.2 (26-10-87) a18 z+z Onderzoek voor welke waarde(n) van z de functie g(z) e analytisch is. 1.3 (14-6-88) a18 De functie f is analytisch. We schrijven z =x + iy en f(z) =u(x,y) + i v(x,y). Er is gegeven dat u(x,y) =sin x cosh y en f(O) = i. Bereken vIx,y). 1.4 (12-6-89) a14A De functie f is analytisch in het gehele complexe vlak. Men stelt f(z) =u(x,y) + i v(x,y), waarbij u en v reële functies zijn en x =Re z; y = lm z. Bereken u(x,y) en v(x,y) als nog gegeven is av ax = 12xy + 4x - Y en f(O) =3 - 2i; feil =3~ - i. 2 1.5 (15-6-87) a14A z is een complex getal. Men stelt Re z =x: lm z =y. f is een analytische functie die aan het complexe getal z het complexe getal w·=fez) toevoegt. Gegeven is: 2 2 Re w eX -y sin 2xy + y en f(O) = o. Bereken lm w. 6 vraagstukken 1.6 (Z5-8-87) aZ3B Onderzoek voor welke zee de functie f: C ~ C gegeven door fez) =sin z differentieerbaar is. (2 is de complex geconjugeerde Z.l van z), 1.7 (13-6-88) aZ3B Zij z =x + iy, x,y E ~. f is een analytische functie en w = fez). Gegeven is: Im w =Z sin x cosh y + xy en f(O) =-Z. Druk w uit in x en y en druk w ook alleen uit in z.. 1.8 (14-8-89) a14A Men definieert de complexe logarithme voor alle complexe getallen met uitzondering van die op de negatieve reële as en de oorsprong. z1) Voor welke waarden van z is log (z + analytisch? (Vermijd het gebruik van het kenmerk van Cauchy-Riemann). 2.;; 2.: vraagstukken 7 2. Functies. Conforme afbeeldingen 2.1 (16-6-87) a18 Men stelt z = x + iy met reële x en reële y. In het z-vlak is gegeven de hyperbool H bepaald door: H = {z I x2 - y2 =1}. Hiervan beschouwt men de tak T die in het rechterhalfvlak ligt. a. Geef een parametervoorstelling van T, alsook een parameter interval. Men beeldt ·het complexe z-vlak af in het complexe w-vlak door te stellen w b. Bepaal het beeld van T onder deze afbeelding en geef daarbij aan in welke richting dit beeld doorlopen wordt, wanneer T in een door u te kiezen richting wordt doorlopen. Aanwijzing: voer de afbeelding in twee stappen uit. 2.2 (16-6-87) a18 De complexe variabele z loopt langs de geschetste kro~e van 0 naar 2. (zie figuur). Men stelt I f Iz) = (z2 + 4) (Z2 - 1) 2 ~. en spreekt af : f(O) =- Welke waarde heeft deze functie aangenomen als z de kromme heeft doorlopen van 0 naar 2? 2.3 (26-10-87) a18 Het gebied G is gegeven door G = {z E IC I IzI < 1 en 0 < arg z < ;}. Bepaal het beeld H van G onder de transformatie 1 - z3 f'{z) =-- 1 + z3 Aanwijzing: voer de afbeelding in twee stappen uit. B vraagstukken 2.9 2.4 (14-6-88) a18 Het gebied G is gegeven door G = {z E ij; (Re z)'(Im z) > 1 en Im z > Ol. Bepaal het beeld van G onder de transformatie f Cz) =!.-+ i. 2.10 2 Z 2. 5 (14-6-88) a18 Men brengt in het complexe vlak een coupure aan en beschouwt D =ij; , {z I Im z =0 en Re < Ol. w(z) =vz is de tak van de wortelfunctie op D bepaald door V+T =-1. Bepaal het beeld wel) van de rechte lijn L = {z I Im z = 2}. 2.11 2.6 (15-4-88) a180B Men beschouwt de transformatie z - 1 w = log Z"""+1 ' waarbij de hoofdwaarde van de logarithme wordt bedoeld. a) Voor welke waarden van z is deze transformatie niet conform? 2.12 b) Bepaal het beeld van het reële interval -1 < Re z < I, Im z =O. c) Bepaal het beeld van het bovenhalfvlak Im z > O. 2.7 (14-8-89) a14A Los z op uit: cos z i sinh 1. 2.8 (29-1-88) a180B zZ-=+-r1 Men beschouwt de transformatie w = a) Voor welke waarden van z is deze transformatie niet conform? b) Toon aan dat deze transformatie de cirkel Iz - 1\ = V2 in zichzelf overvoert (d.w.z. in de cirkel Iw - 11 =V2 ). Bepaal de punten z die onveranderd gelaten worden (d.w.z. waarvoor geldt w z). c) Waar gaat het gebied Iz - 11 < V2 in over? d) Bepaal de beeldfiguur van de cirkel Iz + 11 = V2