essentials Essentials liefern aktuelles Wissen in konzentrierter Form. Die Essenz dessen, worauf es als „State-of-the-Art“ in der gegenwärtigen Fachdiskussion oder in der Praxis ankommt. Essentials informieren schnell, unkompliziert und verständlich. • als Einführung in ein aktuelles Thema aus Ihrem Fachgebiet • als Einstieg in ein für Sie noch unbekanntes Themenfeld • als Einblick, um zum Thema mitreden zu können. Die Bücher in elektronischer und gedruckter Form bringen das Expertenwissen von Springer-Fachautoren kompakt zur Darstellung. Sie sind besonders für die Nutzung als eBook auf Tablet-PCs, eBook-Readern und Smartphones geeignet. Essentials: Wissensbausteine aus den Wirtschafts, Sozial- und Geisteswissenschaf- ten, aus Technik und Naturwissenschaften sowie aus Medizin, Psychologie und Gesundheitsberufen. Von renommierten Autoren aller Springer-Verlagsmarken. Harald Nahrstedt Die Monte-Carlo-Methode Beispiele unter Excel VBA Dipl.-Ing. Harald Nahrstedt Möhnesee Deutschland ISSN 2197-6708 ISSN 2197-6716 (electronic) essentials ISBN 978-3-658-10148-0 ISBN 978-3-658-10149-7 (eBook) DOI 10.1007/978-3-658-10149-7 Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbiblio- grafie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Springer Vieweg © Springer Fachmedien Wiesbaden 2015 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikro- verfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informatio- nen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Springer Fachmedien Wiesbaden ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media (www.springer.com) Was Sie in diesem Essential finden können • Die geschichtlichen Grundlagen • Zufallszahlen und ihre Gesetzmäßigkeiten • Modellbasierte Betrachtungen • Zufallsbedingte Simulationen • Statistische Verteilungen • Transformationen von Verteilungen • Anwendungsbeispiel der Methode V Vorwort Das Microsoft-Office-Paket und darin insbesondere das Excel-Programm mit sei- nen Programmiermöglichkeiten entwickeln sich immer mehr zu einem universel- len Arbeitsmittel. So wie wir heute von Industrie 4.0 sprechen und damit Stufen der industriellen Entwicklung meinen, gibt es diese Entwicklung auch im Büro-, Zeit- und Projektmanagement. Waren es am Anfang Papier, Bleistift und Rechen- schieber, so gab es dann die Ära der programmierbaren Tisch- und Taschenrechner. Ihnen folgten die Anwendungsprogramme, die heute mit einer komfortablen Ent- wicklungsumgebung kaum noch Wünsche offen lassen. Mit diesen Möglichkeiten sind wir nun in der Lage, unsere Entscheidungen auf vielfältige Art zu begründen. Wir sammeln Informationsmaterial, tauschen es miteinander aus und bekommen Fragen im Internet beantwortet. Wir bilden Teile unsere Welt in Modellen ab und simulieren ihr Verhalten. Eine der elementaren Methoden von Simulationen ist die Monte-Carlo-Methode, die inzwischen in vie- len Varianten und Weiterentwicklungen in allen Bereichen unseres Lebens Ein- fluss nimmt. Ob es nun Auswertungen, Abschätzungen oder Vorhersagen sind. Die Methode ist ein schneller und besonders preiswerter Weg zu fachlichen Aussagen. Weniger als wissenschaftlicher Beweis, dazu ist dann doch ein erheblicher Auf- wand nötig, sondern eher als pragmatisch technischer Ansatz zum Verständnis von Zusammenhängen. Die Methode nutzt Pseudozufallszahlen, die entgegen ihrem Namen doch mit einigen Gesetzmäßigkeiten behaftet sind. Ihre Gleichverteilung oder deren Trans- formationen in andere Verteilungsformen zusammen mit Wahrscheinlichkeiten aus empirischen Betrachtungen bilden die Grundlage probabilistischer Simulationen. Das Essential gibt einen Einblick in die geschichtliche Entwicklung der Me- thode und vermittelt die Möglichkeiten der Anwendung. Es zeigt die Wege der Modellbildung, aber auch deren Tücken bis hin zu Falschaussagen. Gerade bei der Modellbildung für Simulationen ist eine kritische Betrachtungsweise angebracht. VII VIII Vorwort Mit den richtigen Grundlagen ist der Weg zu neuen Erkenntnissen einfach und konstruktiv. Hier zeigt sich auch, dass die Programmierung mit VBA unter Excel ein wunderbares Arbeitsmittel zur Dokumentation, zur Analyse und letztlich auch zur Visualisierung mit Diagrammen ist. Alle Excel Mappen finden Sie auf meiner Homepage www.harald-nahrstedt.de zum Download. Harald Nahrstedt Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Geschichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Zufallszahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Modellbildung und Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 Der Weg eines Betrunkenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1 Der lineare Weg eines Betrunkenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2 Die Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.3 Der Weg eines Betrunkenen in der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.4 Modeloptimierung und Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 Weitere Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.1 Neutronenbewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2 Simulation einer Ampelkreuzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.3 Bestimmung unberechenbarer Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.4 Das Nadelexperiment des Comte de Buffon . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.5 Das Galton-Brett . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.6 Reparaturzeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Was Sie aus diesem Essential mitnehmen können . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 IX Grundlagen 1 1.1 Geschichte Die Entstehung der Monte-Carlo-Methode basiert auf zwei Erzählungen. Die älte- re Geschichte beginnt in Monte Carlo, als ein Mathematiker den Weg eines Betrun- kenen beobachtete. Der Betrunkene hielt sich an einem Laternenpfahl fest, bevor er sich dann von diesem entfernte. Er schwankte dabei so stark, dass er jedes Mal eine neue Richtung einschlug. Der Mathematiker fragte sich nun, wie weit es wohl der Betrunkene vom Laternenpfahl nach einer bestimmten Anzahl Schritten schaf- fen würde. Um eine Wahrscheinlichkeitsaussage treffen zu können, hätte er aber noch eine Vielzahl Betrunkener in der gleichen Situation beobachten müssen. Der Mathematiker wählte einen anderen, eleganteren Weg. Er erschuf ein mathemati- sches Modell und nannte es die Monte-Carlo-Methode. Die zweite Geschichte stammt aus der Zeit, als unter dem Begriff Operations Research die Anwendung wissenschaftlicher Methoden auf militärische Prozesse im zweiten Weltkrieg angewendet wurden – wie Bomberflüge, Minenoperationen, Suchmethoden nach Unterseebooten und die Zusammensetzung von Schiffskon- vois. Mit dem Aufkommen von Digitalrechnern erfuhr die Ausweitung auf indus- trielle Bereiche geradezu einen Run. Aber auch der militärische Einsatz wurde weiter vorangetrieben. Im Jahre 1946 gab es ein geheimes Projekt im Los Angeles Scientific Laboratory, an dem die drei namhaften Personen Enrico Fermi, Stanis- law Ulam und John von Neumann beteiligt waren. Es führte zur Entwicklung der Atombombe. Fermi hatte sich schon 1930 mit der Simulation von Neutronenbe- wegungen befasst. Ihr geheimes Projekt sollte einen Namen bekommen und von Neumann schlug Monte Carlo vor – wohl in Anlehnung an die Beziehungen von Ulams Onkel zur Spielbank von Monte Carlo. © Springer Fachmedien Wiesbaden 2015 1 H. Nahrstedt, Die Monte-Carlo-Methode, essentials, DOI 10.1007/978-3-658-10149-7_1