ОБОБЩЕННЫЕ КВАЗИИЗОМЕТРИИ НА ГЛАДКИХ РИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ Е.С. Афанасьева Аннотация. В работе изучается граничное поведение конечно билипшицевых ото- бражений на гладких римановых многообразиях. Ключевыеслова: гладкиеримановымногообразия,конечнобилипшицевыотобра- жения, модули, нижние Q-гомеоморфизмы. AMS 2010 Subject Classification: 30L10, 30C65 5 1 Введение 1 0 2 Напомним некоторые определения из теории римановых многообразий, n которые можно найти, например, в монографиях [6], [17], [15] и [19]. На- a помним, что n-мерное топологическое многообразие Mn – этохаусдорфово J топологическое пространство со счетной базой, в котором каждая точка 1 2 имеетоткрытуюокрестность,гомеоморфнуюRn. Картой намногообразии Mn называется пара (U,ϕ), где U – открытое подмножество пространства ] V Mn, а ϕ – гомеоморфное отображение подмножества U на открытое под- C множество координатного пространства Rn, с помощью которого каждой . точке p ∈ U ставится во взаимно однозначное соответствие набор из n h t чисел, ее локальных координат. Полный набор всех карт многообразия a m называется его атласом. Гладкое многообразие – многообразие с картами [ (U ,ϕ ), локальные координаты которых связаны гладким (C∞) образом. α α Римановым многообразием (Mn,g) называется гладкое многообразие с 1 v заданной на нем римановой метрикой, т.е. положительно определенным 3 симметричным тензорным полем g = g (x), которое определяется в 5 ij 0 координатных картах с правилом перехода: 5 0 ∂yk ∂yl . ′g (x) = g (y(x)) , 1 ij kl ∂xi ∂xj 0 5 где, как обычно, k и l = 1,...,n – так называемые связанные индексы, по 1 которымпроизводитсясуммирование. g (x)вдальнейшемподразумевает- : ij v сягладким. Заметим,чтоdetg > 0всилуположительнойопределенности i ij X g , см., напр., [3, c. 277]. ij r Элемент длины задается инвариантной дифференциальной формой a n ds2 = g dxidxj := g dxidxj, ij ij iX,j=1 гдеg –метрическийтензор,xi –локальныекоординаты. Всоответствиис ij этим, если γ : [a,b] → Mn – кусочно-гладкая кривая и x(t) – ее параметри- ческое задание в локальных координатах, то ее длина вычисляется по формуле: b dxi dxj s = g (x(t)) dt γ Z r ij dt dt a 1 Геодезическое расстояние d(p ,p ) определяется как инфимум длин кусо- 1 2 чно-гладких кривых, соединяющих точки p и p в (Mn,g). Любая кривая, 1 2 соединяющая p и p , на которой реализуется этот инфимум, называется 1 2 геодезической. Напомним также, что элемент объема на (Mn,g) определяется инва- риантной формой dV = detg dx1...dxn, а элемент площади гладкой ij поверхности H на (Mn,g)pdA = det g∗ du ...du – инвариантной фор- αβ 1 n−1 мой, где g∗ – риманова метрикаpна H, порожденная исходной римановой αβ метрикой g по формуле: ij ∂xi ∂xj g∗ (u) = g (x(u))· · . αβ ij ∂uα ∂uβ Здесь x(u) – гладкая параметризация поверхности H с ∇ x 6= 0 всюду. u Таким образом, метрический тензор g на римановом многообразии по- рождает соответствующий метрический тензор g∗ на произвольной регу- лярной поверхности, см., напр., § 88 в [19]. Здесь под поверхностью на многообразии (Mn,g) понимается непре- рывное отображение H : U → Mn, где U – область в (n − 1)-мерном пространстве Rn−1 или, более общо, U – (n − 1)-мерное многообразие, например, (n−1)-мерная сфера. Если отображение H является гладким в локальных координатах, то поверхность называют гладкой. Например, геодезическая сфера в достаточно малой окрестности произвольной точки гладкого риманова многообразия – гладкая поверхность, см. монографию [15, с. 106]. Длянасважныследующиефундаментальныефакты,см., напр., лемму 5.10 и следствие 6.11 в [15], а также [6, с. 260 - 261]. Предложение 1.1. Длякаждой точки римановамногообразия существу- ют ее окрестности и соответствующие локальные координаты в них, в которыхгеодезическим сферам сцентромвданнойточке соответствуют евклидовы сферы стеми жерадиусами и сцентромв началекоординат, а связкегеодезических, исходящих из данной точки, соответствуетсвязка лучей, исходящих из начала координат. Указанныеокрестностиикоординатыпринятоназыватьнормальными. Замечание 1.2. В частности, в нормальных координатах геодезические сферыимеютестественнуюгладкуюпараметризациючерезнаправляющие косинусысоответствующихлучей, исходящихизначалакоординат. Кроме того,метрическийтензорвначалекоординатвэтихкоординатахсовпадает с единичной матрицей, см., напр., предложение 5.11 в [15]. 2 О нижних Q-гомеоморфизмах на гладких римановых многообразиях В дальнейшем мы используем обозначения геодезических сфер S(P ,ε) = 0 {P ∈ Mn : d(P,P ) = ε}, геодезических шаров B(P ,ε) = {P ∈ Mn : 0 0 d(P,P ) < ε} и геодезических колец A(P ,ε,ε ) = {P ∈ Mn : ε < d(P,P ) < 0 0 0 0 ε }, где d – геодезическое расстояние на (Mn,g) и подразумеваем, что 0 S(P ,r), B(P ,r) и A = A(P ,ε,ε ) лежат в нормальной окрестности точки 0 0 0 0 P . Далеедля любыхмножеств A, B иC в(Mn,g),n ≥ 2, через △(A,B;C) 0 2 обозначаем семейство всех кривых γ : [a,b] → Mn, соединяющих A и B в C, т.е. γ(a) ∈ A,γ(b) ∈ B и γ(t) ∈ C при a < t < b. Борелевскую функцию ρ : Mn → [0,∞] называем допустимой для семейства Γ поверхностей S в Mn, пишем ρ ∈ admΓ, если ρn−1dA ≥ 1 ∀ S ∈ Γ. (2.1) Z S p-модуль семейства поверхностей Γ при p ∈ (0,∞) есть величина M (Γ) := inf ρp dV. p ρ ∈ adm ΓZ Mn При p = n получаем конформный модуль и в этом случае используем обозначение M(Γ). Аналогично статье [9], см. также монографию [16], борелеву функцию ρ : Mn → [0,∞] называем обобщенно допустимой для семейства Γ поверх- ностей S в Mn относительно p-модуля, пишем ρ ∈ ext admΓ, если условие p допустимости (2.1) выполнено для p-почти всех (p-п.в.) S ∈ Γ, т.е. за исключением подсемейства Γ нулевого p-модуля. При p = n пишем ρ ∈ extadmΓ. Следующеепонятие,мотивированноекольцевымопределениемГеринга для квазиконформных отображений в [4], было впервые введено в Rn, n ≥ 2, в [9]. ПустьвсюдудалееD иD –областинагладкихримановыхмногообрази- ∗ ях (Mn,g) и (Mn,g∗), n ≥ 2, соответственно, Q : Mn → (0,∞) – измеримая ∗ функция. Гомеоморфизм f : D → D будем называть нижним Q-гомео- ∗ морфизмом относительно p-модуля в точке P ∈ D, если существует 0 δ ∈ (0,d(P )), d := supd(P ,P), такое что для всякого ε < δ и любых 0 0 0 0 0 0 P∈D геодезических колец A = A(P ,ε,ε ), ε ∈ (0,ε ), выполнено условие 0 0 0 ρp(P) M (f(Σ )) ≥ inf dV, (2.2) p ε ρ ∈ extp admΣε Z Q(P) A ∩D где через Σ обозначено семейство пересечений всех геодезических сфер ε S(P ,r),r ∈ (ε,ε ),собластьюD. Будемтакжеговорить,чтогомеоморфизм 0 0 f : D → D являетсянижнимQ-гомеоморфизмом относительноp-модуля, ∗ если f является нижним Q-гомеоморфизмом относительно p-модуля в каждой точке P ∈ D, ср. с [16]. 0 Следующийкритерийнижних Q-гомеоморфизмов,см. теорему2.1в[9] и теорему 9.2 в [16], впервые был доказан для конформного модуля в Rn при n ≥ 2; при p 6= n в Rn, см. теорему 9.2 в [5], а также для гладких римановых многообразий (Mn,g) при n ≥ 2 относительно конформного модуля, см. теорему 4.1 в [1]. Теорема 2.1. Пусть D и D – области на гладких римановых много- ∗ образиях (Mn,g) и (Mn,g∗), n ≥ 2, соответственно, Q : Mn → (0,∞) – ∗ измеримая функция, и P ∈ D. Гомеоморфизм f : D → D является 0 ∗ нижним Q-гомеоморфизмом относительно p-модуля, p > n−1, в точке P , тогда и только тогда, когда для любой нормальной окрестности 0 3 B(P ,ε ) точки P с 0 < ε < d := supd(P ,P) 0 0 0 0 0 0 P∈D ε0 dr M (f(Σ )) ≥ ∀ ε ∈ (0,ε ), (2.3) p ε 0 Z ||Q|| (P ,r) s 0 ε гдеs = n−1 , Σ – семействовсехпересечений собластью D геодезических p−n+1 ε сфер S(P ,r), r ∈ (ε,ε ), и 0 0 1 s ||Q|| (P ,r) =  Qs(P) dA (2.4) s 0 Z D(P0,r)    – Ls-норма Q по D(P ,r) = {P ∈ D : d(P,P ) = r} = D ∩S(P ,r). 0 0 0 Заметим, что инфимум в (2.2) достигается для функции 1 Q(P) p−n+1 ρ (P) = . 0 (cid:20)||Q|| (P ,d(P,P ))(cid:21) s 0 0 Таким образом, неравенство (2.3) является точным для нижних Q- гомеоморфизмов относительно p-модуля. Proof. Отметим,чтов(2.2)потеоремеЛузина,предложению1.1изамечанию 1.2 ρp(P) ρp(P) inf dV = inf dV. ρ ∈ adm Σε Z Q(P) ρ ∈ extp adm Σε Z Q(P) A ∩D A ∩D Также для любого ρ ∈ ext adm Σ , p ε A (r) := ρn−1(P) dA =6 0 п.в. ρ Z e D(P0,r) являетсяизмеримойфункциейпопараметруr,скажемпотеоремеФубини, предложению 1.1 и замечанию 1.2. Таким образом, мы можем требовать равенство A (r) = 1 п.в. вместо условия допустимости (2.1) и ρ e ε0 ρp(P) αq(P) inf dV =  inf dAdr, ρ ∈ extp adm Σε Z Q(P) Z αe∈ I(r) Z Q(P) A ∩D ε  D(P0,r) e    где q = p/(n − 1) > 1, A = A(P ,ε,ε ), ε ∈ (0,ε ), и I(r) обозначает 0 0 0 множество всех борелевых функций α на поверхности D(x ,r), таких, что 0 e α(P) dA = 1. Z D(P0,r) e Поэтому теорема 1 следует из леммы 2.1 в [9], см. также лемму 9.2 в [16] для X = D(P ,r) с мерой площади на D(P ,r) в качестве µ, ϕ = 1| 0 0 Q D(P0,r) и q = p/(n−1) > 1. 4 Следующийрезультатсначалабылдоказаннагладкихримановыхмного- образиях (Mn,g), n ≥ 2, относительно конформного модуля, см. лемму 4.1 в [1]. Лемма2.2. ПустьD и D – области нагладких римановых многообразиях ∗ (Mn,g) и (Mn,g ), n ≥ 2, Q : Mn → (0,∞) – измеримая функция и ∗ ∗ f : D → D – нижний Q-гомеоморфизм относительно p-модуля в точке ∗ P ∈ D, p > n−1. Тогда 0 M (∆(f(S ),f(S );D )) ≤ c/Is, (2.5) α ε ε0 ∗ где α = p , s = n−1 , S = S(P ,ε) и S = S(P ,ε ), 0 < ε < ε , p−n+1 p−n+1 ε 0 ε0 0 0 0 B(P ,ε ) – нормальная окрестность точки x , 0 0 0 ε0 dr I = I(P ,ε,ε ) = , (2.6) 0 0 Z ||Q|| (P ,r) s 0 ε ||Q|| (P ,r) определено в (2.4), а константа c произвольно близка к 1 в s 0 достаточно малых окрестностях точки P . 0 Proof. Учитывая тот факт, что по замечанию 1.2 метрический тензор в начале нормальных координат совпадает с единичной матрицей и, следо- вательно, в достаточно малом шаре с центром в нуле равномерно близок к единичной матрице, получаем, согласно равенствам Хессе и Циммера, см. [22] и [23], что c M (∆(f(S ),f(S );D ))) ≤ , (2.7) α ε ε0 ∗ Ms(f(Σ)) p α = p ,1 < α < ∞,n−1 < p < ∞,посколькуf(Σ) ⊂ Σ(f(S ),f(S );D ), p−n+1 ε ε0 ∗ где Σ обозначает совокупность всех геодезических сфер с центром в точке P , расположенных между сферами S и S , а Σ(f(S ),f(S );D ) состоит 0 ε ε0 ε ε0 ∗ из всех замкнутых множеств в D , отделяющих f(S ) и f(S ), а c – ∗ ε ε0 постоянная,произвольноблизкаякединице вдостаточномалыхокрестно- стях P . Таким образом, из теоремы 2.1 и соотношения (2.7) получаем 0 оценку (2.5), где интеграл I = I(P ,ε,ε ) определен в (2.6). 0 0 Аналог приведенной ниже леммы был ранее получен в (Mn,g), n ≥ 2, относительно конформного модуля, см. лемму 3 в [2]. Лемма 2.3. Пусть D – область на гладком римановом многообразии (Mn,g), n ≥ 2, P ∈ D, 0 < ε < ε < d := supd(P,P ), A = A(P ,ε,ε ) 0 0 0 0 0 0 P∈D – геодезическое кольцо, B(P ,ε ) – нормальная окрестность точки P и 0 0 0 пусть Q : Mn → (0,∞) – измеримая функция, которая интегрируема в степени s, s = n−1 , где p > n−1 в B(P ,ε ). Пусть p−n+1 0 0 1 η (t) = , 0 I ·kQk (P ,t) s 0 где kQk (P ,r), r ∈ (ε,ε ), и I = I(P ,ε,ε ) определены в (2.4) и (2.6), s 0 0 0 0 соответственно. Тогда 1/Is = Qs(P)·ηα(d(P,P )) dV ≤ Qs(P)·ηα(d(P,P )) dV, (2.8) 0 0 0 Z Z A ∩D A ∩D 5 где α = p для любой борелевой функции η : (ε,ε ) → [0,∞], такой, p−n+1 0 что ε0 η(r)dr = 1. (2.9) Z ε Proof. Вдальнейшеммыпользуемсятемобстоятельством,чтопозамечанию 1.2 элементы объема и площадей на геодезических сферах в нормальных окрестностях точки P эквивалентны евклидовым с коэффициентом экви- 0 валентности произвольно близким к единице в достаточно малых окрест- ностях, а радиусы геодезических сфер S(P ,r) совпадают с евклидовыми. 0 ЕслиI = ∞,толеваячастьсоотношения(2.8)равнанулюинеравенство в этом случае очевидно. Заметим, что если I = 0, то kQk (P ,r) = ∞ для s 0 п.в. r ∈ (ε,ε ), что невозможно ввиду интегрируемости Qs в B(P ,ε ). 0 0 0 Поэтому можно считать, что 0 < I < ∞. Тогда η (r) 6= ∞ п.в. в (ε,ε ), 0 0 посколькуkQk (P ,r) 6= 0п.в. Крометого, kQk (P ,r) 6= ∞п.в. поскольку s 0 s 0 Q ∈ Ls(B(P ,ε )). Полагая 0 0 β(r) = η(r)·kQk (P ,r) s 0 и ω(r) = [kQk (P ,r)]−1, s 0 будем иметь, что η(r) = β(r)ω(r) п.в. в (ε,ε ) и что 0 ε0 C := Qs(P)·ηα(d(P,P )) dV = βα(r)ω(r)dr. 0 Z Z A ∩D ε Применяя неравенство Иенсена с весом, см., напр., теорему 2.6.2 в [18], к выпуклой функции ϕ(t) = tα, заданной в интервале Ω = (ε,ε ), с 0 вероятностной мерой 1 ν(E) = ω(r) dr, I Z E получаем что 1 ε0 α ε0 1 1 1  βα(r)ω(r)dr ≥ β(r)ω(r) dr = , I Z I Z I  ε  ε где мы также использовали тот факт, что η(r) = β(r)ω(r) удовлетворяет соотношению (2.9). Таким образом, 1 C ≥ , Is что и доказывает (2.8). Следствие 2.4. При условиях и обозначениях лемм 2.2 и 2.3, M (∆(f(S ),f(S );D )) ≤ c Qs(P) ηα(d(P,P )) dV, (2.10) α ε ε0 ∗ Z 0 A ∩D где S = S(P ,ε) и S = S(P ,ε ). ε 0 ε0 0 0 6 Другими словами, это означает, что нижний Q-гомеоморфизм отно- сительноp-модулявRn, n ≥ 2,сQ ∈ Ls(B(P ,ε )),s = n−1 ,являетсяQ - 0 0 p−n+1 ∗ кольцевымгомеоморфизмомотносительноα-модулясQ = Qs,α = p . ∗ p−n+1 Ясно, что α > p при n ≥ 2, [5]. Отметим,чтотеориянижнихQ-отображенийприменимакотображениям сконечнымискажениемклассаОрлича-CоболеваW1,ϕ приналичииусловия loc Кальдерона и, в частности, к классам Соболева W1,p при p > n − 1 (см. loc [1], [11]– [13]). В работах [8], [20] также приводятся приложения нижних Q-гомеоморфизмов к исследованию локального и граничного поведения гомеоморфныхрешенийсобобщеннымипроизводнымиикзадачеДирихле для уравнений Бельтрами с вырождением. 3 Об обобщенных квазиизометриях Говорим, что отображение f : Mn → Mn, n ≥ 2, называется липшицевым, ∗ еслидлянекоторогоL < ∞идлявсехP, T из(Mn,g),выполненонеравен- ство d (f(P),f(T)) ≤ Ld(P,T), ∗ гдеdиd –геодезические расстоянияна(Mn,g)и(Mn,g∗), соответственно. ∗ ∗ Наименьшая из таких констант называется константой Липшица и обозначаетсяLip(f). ОднимизпримеровлипшицевойфункциивRn может служить функция f(x) = dist(x,F), где F – замкнутое подмножество Rn, причем, Lip(f) = 1. Существует также и более узкий класс отображений, чем липшицевы, а именно, билипшицевы отображения. Говорим также, что отображение f : Mn → Mn, n ≥ 2, билипшицево, ∗ если оно, во-первых, липшицево, а во-вторых, L∗d(P,T) ≤ d (f(P),f(T)) ∗ для некоторого L∗ > 0 и для всех P и T из (Mn,g). Пусть далее Ω – открытые множества на (Mn,g), n ≥ 2, f : Ω → Mn – ∗ непрерывное отображение. Аналогично [10], см. также [16] говорим, что отображение f : Ω → Mn конечно липшицево, если L(P,f) < ∞ для всех ∗ P ∈ Ω, и конечно билипшицево, если 0 < l(P,f) ≤ L(P,f) < ∞ для всех P ∈ Ω, где d (f(P),f(T)) ∗ L(P,f) = limsup , (3.1) d(P,T) T→P T ∈ Mn, и d (f(P),f(T)) ∗ l(P,f) = liminf . T→P d(P,T) Очевидно,чтокаждоелипшицевоотображениеявляетсяконечнолипши- цевыми,соответственно,каждоебилипшицевоотображениеявляетсяконеч- но билипшицевым. 7 ОбозначимдалеечерезK (P,f)внешнюю дилатациюна(Mn,g),n ≥ 2, p определяемую следующим образом: Lp(P,f) при J(P,f) 6= 0, J(P,f) Kp(P,f) =  1 при L(P,f) = 0, , (3.2)  ∞ в остальных точках где  V (f(B(P,r))) ∗ J(P,f) = lim п.в. (3.3) r→0 V(B(P,r)) Напомним,чтоприp = nполучаемвнешнююдилатациюK(P,f)отобра- жения f, определенную стандартным образом, см., напр., п. 3 в [1]. Напомнимтакже,чтоkf′(x)kвRn обозначаетматричнуюнормуякобиевой матрицы f′ отображения f в точке x ∈ D, kf′(x)k = sup |f′(x) · h|, h∈Rn,|h|=1 J (x) = det f′(x) – якобиан отображения f и K (x) = kf′(x)kn/J (x) – f f f внешнюю дилатацию отображения f в Rn. Замечание 3.1. Переходя к локальным координатам, по замечанию 1 видим, что определения L(P,f) из (3.1) и kf′(x)k в Rn, внешней дилатации K (P,f) из (3.2) и K (x) в Rn, а также обобщенного якобиана J(P,f) из p f (3.3) и J (x) из Rn, соответственно, согласованы в точках дифференци- f руемостиотображенияf. Заметимтакже,чтовеличинаK (x)инвариантна f относительно замен локальных координат. Таким образом, как видно из нормальных координат, K (P,f) можно вычислять п.в. через K (x) и в p f любых локальных координатах для указанных отображений. Следующее утверждение является ключевым для дальнейшего иссле- дования. ВпервыеаналогичныйрезультатбылполученвRn,n ≥ 2,см. следствие 5.15 в [10], см. также следствие 10.10 в [16]. Теорема 3.2. Пусть (Mn,g) и (Mn,g∗), n ≥ 2, – гладкие римановы много- ∗ образия, Ω – открытое множество из (Mn,g). Тогда любой конечно билипшицевый гомеоморфизм f : Ω → Mn является нижним Q-гомео- ∗ морфизмом относительно p-модуля, p ∈ (0,∞), с Q(x) = K (P,f). p Proof. Более того, покажем, что ̺p(P) M (fΓ) ≥ inf dV p ̺∈extpadmΓZ Kp(P,f) Ω для любого семейства Γ (n−1)-мерных поверхностей S в Ω. Пусть далее B – (борелевское) множество всех точек P из Ω, где, согласно замечаниям 1.2 и 3.1, f имеет дифференциал f′(P) и J(P,f) 6= 0. Известно, что B является объединением счетного набора борелевских множеств B , l = 1,2,..., таких, что f = f| билипшицево, см., напр., l l Bl пункт 3.2.2 в [21]. Не ограничивая общности, можно считать, что B l попарно не пересекаются. Отметим, что B = Ω\B и f(B ) имеет нулевую 0 0 меру в Mn и Mn, соответственно, ввиду билипшицевости отображения f, ∗ см. следствие 8.1 в [16] и замечание 1.2. Таким образом, по теореме 2.4 в [10], см. теорему 9.1 в [16], A (B ) = 0 для p-п.в. S ∈ Γ и, т.к. f – S 0 конечно билипшицевый гомеоморфизм, A (f(B )) = 0 для p-п.в. S ∈ Γ, S∗ 0 где S = f ◦S. ∗ 8 Пусть ̺ ∈ admfΓ, ̺ ≡ 0 вне f(Ω), и пусть ̺ ≡ 0 вне Ω и ∗ ∗ ̺(P) = ̺ (f(P))L(P,f) ∗ для п.в. P ∈ Ω. Рассуждая на каждом B , по 3.2.20 и 1.7.6 в [21] получаем, что l ̺n−1dA ≥ ̺n−1dA ≥ 1 ∗ ∗ Z Z S S∗ для p-п.в. S ∈ Γ и, таким образом, ̺ ∈ ext admΓ. p С помощью замены переменных для класса конечно билипшицевых функций, см., напр., пункт 3.2.5 в [21], и теоремы Лебега получаем, что ̺p(P) ̺p(P) dV = dV = ̺p(T) dV , Z K (P,f) Z K (P,f) Z ∗ ∗ Xl p p Bl Ω f(Ω) что и приводит к нужному неравенству. 4 О граничном поведении конечно билипшицевых го- меоморфизмов Далее, учитывая теоремы о граничном поведении нижних Q-гомеомор- физмов из п. 6 статьи [1], в качестве следствий получаем ряд теорем о граничномповеденииконечно билипшицевыхгомеоморфизмовнагладких римановых многообразиях. Аналогично [16] говорим, что граница области D – слабо плоская в точке P ∈ ∂D, если для любого числа P > 0 и любой окрестности U 0 точки P найдется ее окрестность V ⊂ U, такая, что 0 M(∆(E,F;D)) ≥ P для любых континуумов E и F в D, пересекающих ∂U и ∂V. Также говорим, что граница области D сильно достижима в точке P ∈ ∂D, если для любой окрестности U точки P , найдется компакт E ⊂ 0 0 D, окрестность V ⊂ U точки P и число δ > 0, такие, что 0 M(∆(E,F;D)) ≥ δ для любого континуума F в D, пересекающего ∂U и ∂V. Наконецговорим, чтограницаобластиD называется сильно достижи- мойислабо плоской,еслисоответствующиесвойстваимеютместовкаждой точке границы. Напомним также, что топологическое пространство связно, если его нельзя разбить на два непустых открытых множества. Область D называ- ется локально связной в точке P ∈ ∂D, если для любой окрестности U 0 точки P найдется окрестность V ⊆ U точки P , такая, что V ∩D связно, 0 0 ср. [14, c. 232]. По теореме 6.1 в [1] из теоремы 2 получаем следующее заключение. Теорема 4.1. Пусть D локально связна на границе, D компактно, ∂D – ∗ слабо плоская. Если f : D → D – конечно билипшицевый гомеоморфизм ∗ с K(P,f) ∈ Ln−1(D), то f−1 имеет непрерывное продолжение на D . ∗ 9 Замечание 4.2. Отметим, что здесь условие K(P,f) ∈ Ln−1(D) нельзя заменить на условие K(P,f) ∈ Lp(D) ни при каком p < n−1, см., примеры липшицевых отображений в доказательстве теоремы 5 в [7]. Однако, здесь достаточно предполагать, что K(P,f) ∈ Ln−1(D∩U) для некоторой окрестности U границы D. По теореме 9.2 в [9] из теоремы 2 также имеем следующий результат. Теорема 4.3. Пусть D локально связна на границе, D компактно, ∂D ∗ – слабо плоская и δ(x0) dr = ∞ ∀ P ∈ ∂D (4.1) 0 Z kKk (P ,r) n−1 0 0 для некоторого δ(P ) ∈ (0,d(P )), где d(P ) := supd(P,P ), такого, что 0 0 0 0 P∈D B(P ,δ(P )) – нормальная окрестность точки P и 0 0 0 1 n−1 kKk (P ,r) =  Kn−1(P,f) dA . n−1 0 Z S(P0,r)    Тогда, для любого конечно билипшицевого гомеоморфизма f : D → D , его ∗ обратное отображение f−1 допускает непрерывное продолжение на D . ∗ Приэтоммытакжевоспользовалисьнормальнымиокрестностями,пред- ложением 1 и замечанием 1. Аналогично по лемме 6.1 в [9] и теореме 2 имеем: Лемма4.4. ПустьD локально связнав P ∈ ∂D, ∂D сильнодостижима 0 ∗ хотя бы в одной точке предельного множества C(P ,f) = {T ∈ Mn : 0 ∗ T = lim f(P ), P → P , P ∈ D} и D компактно, K(P,f) : Mn → k k 0 k ∗ k→∞ (0,∞)–измеримая функцияипустьf : D → D – конечнобилипшицевый ∗ гомеоморфизм в точке P . Если условие (4.1) выполнено в точке P , то 0 0 f продолжим в P по непрерывности. 0 Следствие 4.5. Пусть D локально связна в точке P ∈ ∂D, ∂D сильно 0 ∗ достижима, D компактно и пусть f : D → D – конечно билипшицевый ∗ ∗ гомеоморфизм с 1 K(P,f) = O log при r := d(P,P ) → 0. 0 (cid:18) r(cid:19) Тогдаf допускает продолжение вточку P по непрерывности на (Mn,g∗). 0 ∗ Наконец, на основе теоремы 4.3 и леммы 4.4, приходим к следующему заключению. Теорема 4.6. Пусть D локально связна на границе, D и D компактны, ∗ ∂D – слабо плоская. Тогда любой конечно билипшицевый гомеоморфизм ∗ f : D → D с условием (4.1) допускает гомеоморфное продолжение f : ∗ D → D . ∗ 10