Geometry of Strings and Branes FoarHeitenMem The work described in this thesis was performed at the Centre for Theoretical Physics in Groningenand attheInstitut HenriPoincaré inParis, withsupport fromthefoundationfor FundamenteelOnderzoekderMaterie,aswellasaMarieCuriefellowshipoftheEuropean Union research program “Improving Human Research Potential and the Socio-Economic KnowledgeBase”,contractnumberHPMT-CT-2000-00165. PrintedbyUniversalPress-SciencePublishers/Veenendaal,TheNetherlands. Copyright©2002ReinHalbersma. Rijksuniversiteit Groningen Geometry of Strings and Branes Proefschrift terverkrijgingvanhet doctoraatinde WiskundeenNatuurwetenschappen aandeRijksuniversiteitGroningen opgezagvande RectorMagnificus,dr.D.F.J.Bosscher, inhetopenbaarte verdedigenop vrijdag21juni2002 om14.15uur door Reinder Simon Halbersma geborenop18november1974 te Oostermeer Promotor: Prof.dr. E.ABergshoeff Referent: Dr.M.deRoo Beoordelingscommissie: Prof.dr. B.E.W.Nilsson Prof.dr. A.VanProeyen Prof.dr. D.Zanon ISBN-nummer: 90-367-1627-6 vi Contents 2.2.1 Embeddingandmetric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2.2 Curvatureandcosmologicalconstant . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.2.3 Boundaryandconformalstructure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.3 Conformalfieldtheory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.3.1 Atoymodelexample . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.3.2 Approximationsofthecorrespondence . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.3.3 EvidencefortheAdS/CFTcorrespondence . . . . . . . . . . . . . . 52 3 TheDW/QFTcorrespondence 55 3.1 Near-horizongeometriesofp-branes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.1.1 Two-blocksolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.1.2 Thenear-horizonlimit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.1.3 Interpolatingsolitons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.2 Domain-walls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.2.1 SolutionAnsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.2.2 Asymptoticgeometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.2.3 Spherereductions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.3 Quantumfieldtheory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.3.1 Dualworldvolumetheories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.3.2 Deformationsandrenormalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.3.3 Domain-wallsasRG-flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4 Braneworldscenarios 75 4.1 Fine-tuningproblems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.1.1 Thehierarchyproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.1.2 Thecosmologicalconstantproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.2 TheRandall-Sundrumscenarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.2.1 Two-branesetup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.2.2 Single-branesetup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.2.3 Localizationofgravityonthebrane . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.3 Supersymmetricbraneworlds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.3.1 Conditionsonthescalarpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.3.2 Overviewof =2supergravityinD =5 . . . . . . . . . . . . . . 86 N 5 Weylmultipletsofconformalsupergravity 87 5.1 Rigidsuperconformalsymmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 5.1.1 ConformalKillingvectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 5.1.2 ConformalKillingspinors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 5.1.3 ThesuperconformalalgebraF2(4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 5.1.4 Representationtheory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.2 Localsuperconformalsymmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 5.2.1 Gaugefieldsandcurvatures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Contents vii 5.2.2 Curvatureconstraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 5.3 Thesupercurrentmethod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 5.3.1 ThesupercurrentoftheMaxwellmultiplet . . . . . . . . . . . . . . 102 5.3.2 Theimprovedsupercurrent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5.3.3 ThelinearizedWeylmultiplets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5.4 TheWeylmultiplets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 5.4.1 Themodifiedsuperconformalalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 5.4.2 TheStandardWeylmultiplet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.4.3 TheDilatonWeylmultiplet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5.5 ConnectionbetweentheWeylmultiplets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 5.5.1 TheimprovedMaxwellmultiplet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.5.2 CouplingtotheStandardWeylmultiplet. . . . . . . . . . . . . . . . 115 5.5.3 Solvingtheequationsofmotion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 6 Matter-couplingsofconformalsupergravity 119 6.1 Thevector-tensormultiplet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 6.1.1 Adjointrepresentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 6.1.2 Reduciblerepresentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 6.1.3 Completelyreduciblerepresentations . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 6.1.4 Themassiveself-dualtensormultiplet . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 6.2 Thehypermultiplet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 6.2.1 Rigidsupersymmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 6.2.2 Superconformalsymmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 6.2.3 Gaugingsymmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 6.3 Superconformalactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 6.3.1 TheYang-Millsmultiplet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 6.3.2 Thevector-tensormultiplet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 6.3.3 Thehypermultiplet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 6.4 CouplingtotheWeylmultiplet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 6.4.1 Vector-tensormultiplet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 6.4.2 Thehypermultiplet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 6.5 Discussionandoutlook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 6.5.1 Summaryofgeometricalobjects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 6.5.2 Gauge-fixingtheconformalsymmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 6.5.3 Thescalarpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 Bibliography 155 viii Contents A Conventions 173 A.1 Indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 A.2 Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 A.3 Differentialforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 A.4 Spinors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 A.5 Gamma-matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 A.6 Fierz-identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 Samenvatting 179 Dankwoord 187 List of Figures 1.1 Aparticleworldlineandstringworldsheets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 Theperiodic,Neumann,andDirichletboundaryconditionsforstrings. . . . . 11 1.3 Thegenusexpansionofstringtheoryinteractions. . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4 TheM-theorywebofstringtheoriesandtheirdualities. . . . . . . . . . . . . 24 1.5 ThevariousbranesinD =10andD =11andtheirdualities. . . . . . . . . 29 2.1 D-branesasopenstringboundaryconditionsandclosedstringsources.. . . . 36 2.2 TheinterpolatingD3-branegeometry. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.3 AstackofD3-branesprobedbyanotherD3-brane. . . . . . . . . . . . . . . 40 2.4 AstackofD3-braneprobedbyasupergravityfield . . . . . . . . . . . . . . 41 2.5 AdS anddS ashyperboloidsinR2;d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 d+1 d+1 2.6 TheprojectiveboundaryofAnti-de-Sitterspacetime. . . . . . . . . . . . . . 47 2.7 Wittendiagramsof2-,3-and4-pointcorrelationfunctions. . . . . . . . . . . 51 3.1 Abeta-functionwithUVandIRfixedpoints. . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.1 Thetwo-braneRandall-Sundrumsetup. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.2 Thesingle-braneRandall-Sundrumsetup. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 x ListofFigures List of Tables 1 (Semi-)classicalelectromagnetismversusgravity. . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Quantizingtheweakorstronginteractionversusgravity. . . . . . . . . . . . 4 2.1 RegimesoftheAdS/CFTcorrespondence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2 Agravity/gaugetheorydictionary. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.1 RegimesoftheDW/QFTcorrespondence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.2 Classificationofoperatorsineffectivefieldtheory. . . . . . . . . . . . . . . 69 3.3 Adomain-wall/RG-flowdictionary. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 5.1 ThegeneratorsofthesuperconformalalgebraF2(4). . . . . . . . . . . . . . 90 5.2 ThegaugefieldsofthesuperconformalalgebraF2(4). . . . . . . . . . . . . 95 5.3 Theon-shellMaxwellmultiplet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 5.4 Thecurrentmultiplet: (cid:18) (cid:22)and(cid:13)(cid:22)Ji formseparatecurrents. . . . . . . . . . 103 (cid:22) (cid:22) 5.5 Theimprovedcurrentmultipletwithconstrainedcurrents.. . . . . . . . . . . 106 5.6 GaugefieldsandmatterfieldoftheWeylmultiplets.. . . . . . . . . . . . . . 107 6.1 Theoff-shellYang-Millsmultiplet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 6.2 Theon-shelltensormultiplet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 6.3 Theon-shellhypermultiplet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 6.4 Theholonomygroupsofthefamilyofquaternionic-likemanifolds.. . . . . . 132 6.5 Thesuperconformalmattermultipletsandtheiressentialgeometricaldata. . . 150 A.1 Coefficientsusedincontractionsofgamma-matrices. . . . . . . . . . . . . . 177