IF-UFRJ Elementos de Eletrônica Analógica Mestrado Profissional em Ensino de Física Prof. Antônio Carlos F. dos Santos Aula 3: Filtros Passivos Este material foi baseado em livros e manuais existentes na literatura (vide referências) e na internet e foi confeccionado exclusivamente para uso como nota de aula para as práticas de Laboratório de Física Moderna Eletrônica. Pela forma rápida que foi confeccionado, algumas partes foram extraídas quase verbatim de outros autores citados na lista de referências. Trata-se de um texto em processo de constante modificação. Por gentileza, me informe os erros que encontrar. Introdução: Qualquer combinação dos elementos passivos (R, L, C) projetada para selecionar ou rejeitar uma faixa de frequências é chamado de filtro passivo. Os filtros ativos serão estudados nas próximas aulas e utilizam além dos elementos passivos, transistores e amplificadores operacionais. Os filtros são muito utilizados em sistemas de comunicações para deixar passar as freqüências que contêm as informações desejadas e rejeitar as restantes. São utilizados também em sistemas de som estéreo para reforçar ou atenuar certas bandas de freqüências ao sistema acústico de saída (amplificador, alto-falante, etc..). Outra utilização de filtros é na eliminação de ruído. Em geral, todos os filtros podem ser classificados em quatro grandes categorias: passa-baixa, passa-alta, passa-banda e banda de atenuação, conforme ilustrado na figura abaixo. Vamos inicialmente definir a função de transferência H(f) = V /V . saída entrada passa-baixa passa-alta 1,0 1,0 0,8 0,8 0,707 0,707 0,6 0,6 V/Vo V/Vo 0,4 0,4 0,2 0,2 0,0 0,0 0,01 0,1 1 10 0,01 0,1 1 10 f/f f/f c c Fig. 1 – Função de transferência para os alguns filtros. Ganho de potência G Dois valores de potência podem ser comparados usando uma unidade denominada bel, definida pela seguinte equação: G = log (P /P ) (bels). Um submúltiplo do bel é o decibel (dB), definido por 1bel = 10 decibéis (dB). Para 10 2 1 expressarmos o ganho em decibel G = 10log (P /P ) (dB). No caso especial em que P = 2P , o ganho em dB é G = 10 2 1 2 1 10log2= 3 dB. Portanto, um aumento de 3 dB significa que a potência de saída é o dobro da potência de entrada. Ganho de tensão 6 Como a potência é proporcional ao quadrado da tensão, temos que o ganho de tensão G = 10log(V /V )2 =20logV /V V 2 1 2 1 (dB). É comum comparar o desempenho de alguns filtros utilizando a função de transferência em decibel (dB), como |H(f)| = 20log|H(f)|. dB |H(f)| |H(f)| dB 100 40 10 20 2 6 21/2 3 1 0 0,707..=2-1/2 -3 ½ -6 0,1 -20 0,01 -40 Tabela I – função transferência A magnitude da função transferência é muitas vezes analisada através do gráfico de Bode que apresenta a magnitude da função transferência em dB em função da freqüência em escala logarítmica. O filtro RC passa-baixa O filtro passa-baixa é construído por um circuito RC-série, onde a tensão de saída é a do capacitor. Este filtro também é conhecido como filtro passa-baixa de primeira ordem. Para ondas senoidais de freqüências baixas, a reatância capacitiva assume valores altos em comparação com o valor da resistência, dessa maneira, a tensão de s A reatância capacitiva. Vamos considerar um circuito puramente capacitivo. Lembrando que a d. d. p. nas extremidades de um capacitor é dada por V = Q/C, logo a corrente será i = dQ/dt = CdV /dt. Supondo uma tensão C C C senoidal, V = V senωt, i será dado por i = ωCV cosωt = ωCV sen(ωt+90o)= I sen(ωt+90o), onde I =ωCV = X-1V . C m c c m m m m m c m Então, no caso de um circuito puramente capacitivo, a corrente fica adiantada 90o em relação à tensão e a reatância capacitiva X é dada por X = (ωC)-1. Utilizando a notação complexa, a impedância que no caso geral é dada por Z = R+ c C i(X-X), sendo no presente caso puramente capacitiva, será dada por Z=-iX, onde o número imaginário i indica a L c c defasagem da corrente em relação à tensão. Fig. 2 – circuito RC como filtro passa-baixa Para determinar a função transferência, aplicamos um sinal senoidal na entrada representado pelo fasor V o (utilizamos negrito para designar um fasor), e analisamos o comportamento do circuito em função da freqüência da fonte. A partir da definição de impedância, V = ZI , encontramos o 7 V V V I = o = o = o (3.1) Z R−iX i C R− 2πfC O fasor da tensão de saída (no capacitor) é dada por I V =Z I =−iX I = (3.2) saída saída c i2πfC Note que utilizamos o conceito de divisor de tensão estudado na primeira aula. Então 1 V V = × o (3.3) saída i2πfC i R− 2πfC V 1 1 1 1 H(f )= saída = × = = (3.4) V i2πfC i 1+i2πfRC  f  o R− 1+i  2πfC  f    C Onde definiminos a frequencia crítica f = (2πRC)-1. C A função transferência é uma grandeza complexa, tendo uma magnitude e uma fase. A magnitude é dada por 1 H(f ) = (3.5) 2  f  1+    f   C E a fase θ é dada por  f   R  θ=−arctg =−tg−1 (3.6)     f X     C C O gráfico da função transferência pode ser visto na Fig. 1. Note que quando f = f |H(f)|= 2-1/2 e |H(f)| = - 3 dB. C dB Vamos então analisar a resposta do circuito a freqüências desde 0 Hz até freqüências muito altas. Para f = 0 Hz, X = ∞ c Ω, ou seja, podemos substituir o capacitor por um circuito aberto. Para freqüências muito altas, a reatância fica X = 0 c Ω, ou seja, podemos substituir o capacitor por um curto-circuito. Então, como impedâncias em série são somadas, para o circuito RC, a impedância total é dada por Z = R –iX = R-i(ωC)- c 1. A relação entre a tensão da fonte e a corrente no circuito é dada pela Lei de Ohm V=ZI 8 O filtro RC passa-alta O circuito mostrado abaixo representa um filtro passa-alta. Ele pode ser analisado da mesma maneira que o filtro passa-baixa para encontrar a função transferência  f  i  V  f  H(f )= saída = C (3.7) V  f  o 1+i  f   C A magnitude da função transferência é dada por f f H(f ) = C (3.8) 2  f  1+  f   C E a fase π  f  θ= −arctg (3.9)   2 f   C 9 Experimento: Material: Gerador de sinais, osciloscópio, capacitor (~ 0,1 µF), resistor (~ 2,2 kΩ) 1- Monte o circuito da figura abaixo. Ajuste o gerador de sinais para uma onda senoidal de 2 V pico-a-pico. Insira a tensão do gerador (V na figura) no canal 1 do osciloscópio e a tensão do capacitor (V na figura) no c canal 2. 2- Varie a freqüência do gerador. Meça e anote a tensão de saída no capacitor, a tensão da fonte e a defasagem entre os dois sinais. (sugestão 10 Hz-2 MHz) R (Ω) C(µF) RC f = 1/(2πRC) c F(Hz) V gerador (V) pico-a-pico Vc (pico-a-pico) (V) V/V Defasagem (θ) o (V ) o 3- Faça o gráfico da tensão de saída em função da freqüência no gráfico linear e log-log 10 1,0 0,9 0,8 0,7 ) 0,6 o V / V 0,5 ( o ã s 0,4 n e T 0,3 0,2 0,1 0,0 frequência (Hz) 11 100 90 80 70 ) 60 s u 50 a r 40 g ( 30 θ 20 10 0 frequência (Hz) 4- Agora monte o circuito da figura abaixo, nas mesmas condições anteriores 5- Varie a freqüência do gerador. Meça e anote a tensão de saída no capacitor. (sugestão 10 Hz-2 MHz) F(Hz) V gerador (V) pico-a-pico V (pico-a-pico) (V) V/V R o (V ) o 12 1- Faça o gráfico da tensão de saída em função da freqüência no gráfico linear e log-log 1,0 0,9 0,8 0,7 ) 0,6 o V / V 0,5 ( o ã s 0,4 n e T 0,3 0,2 0,1 0,0 frequência (Hz) 13 100 90 80 70 ) 60 s u 50 a r 40 g ( 30 θ 20 10 0 frequência (Hz) Para casa (entregar na próxima aula) 14 1- Calcule o ganho de tensão em dB de um sistema no qual o sinal aplicado é 2 mV e a tensão de saída é 1,2 V. 2- Suponha que um sinal de entrada dado por V (t)=5cos(500πt)+5cos(1000πt)+5cos(2000πt) seja aplicado a o um filtro passa-baixa com R = 1000/π = 318,3 Ω e C = 1µF. Encontre a expressão para o sinal de saída . Capacitores (fonte http://www.feiradeciencias.com.br) Alguns capacitores apresentam uma codificação que é um tanto estranha, mesmo para os técnicos experientes, e muito difícil de compreender para o técnico novato. Observemos o exemplo abaixo: O valor do capacitor,"B", é de 3300 pF (picofarad = 10-12 F) ou 3,3 nF (nanofarad = 10-9 F) ou 0,0033 µF (microfarad = 10-6 F). No capacitor "A", devemos acrescentar mais 4 zeros após os dois primeiros algarismos. O valor do capacitor, que se lê 104, é de 100000 pF ou 100 nF ou 0,1µF. Capacitores usando letras em seus valores O desenho ao lado, mostra capacitores que tem os seus valores, impressos em nanofarad (nF) = 10-9F. Quando aparece no capacitor uma letra "n" minúscula, como um dos tipos apresentados ao lado por exemplo: 3n3, significa que este capacitor é de 3,3nF. No exemplo, o "n" minúsculo é colocado ao meio dos números, apenas para economizar uma vírgula e evitar erro de interpretação de seu valor. Multiplicando-se 3,3 por 10-9 = ( 0,000.000.001 ), teremos 0,000.000.003.3 F. Para se transformar este valor em microfarad, devemos dividir por 10-6 = ( 0,000.001 ), que será igual a 0,0033µF. Para voltarmos ao valor em nF, devemos pegar 0,000.000.003.3F e dividir por 10-9 = ( 0,000.000.001 ), o resultado é 3,3nF ou 3n3F. Para transformar em picofarad, pegamos 0,000.000.003.3F e dividimos por 10-12, resultando 3300pF. Alguns fabricantes fazem capacitores com formatos e valores impressos como os apresentados abaixo. O nosso exemplo, de 3300pF, é o primeiro da fila. Note nos capacitores seguintes, envolvidos com um círculo azul, o aparecimento de uma letra maiúscula ao lado dos números. Esta letra refere-se a tolerância do capacitor, ou seja, o quanto que o capacitor pode variar de seu valor em uma temperatura padrão de 25° C. A letra "J" significa que este capacitor pode variar até ±5% de seu valor, a letra "K" = ±10% ou "M" = ±20%. Segue na tabela abaixo, os códigos de tolerâncias de capacitância. Até 10pF Código Acima de 10pF ±0,1pF B ±0,25pF C 15