Band 6 P. Henrici Birkhäuser R. Jeltsch Komplexe Analysis Skripten für Ingenieure Band 1 1987 Birkhäuser Verlag Basel · Boston· Stuttgart Die erste und zweite Auflage CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek erschienen 1977 bezw. 1985 in der Reihe Uni-Taschenbücher Henrici, Peter: (UTB 627) beim Birkhäuser Komplexe Analysis für Ingenieure / Peter Henrici ; Verlag. Rita Jeltsch. - Basel; Boston ; Stuttgart : Birkhäuser Die vorliegende Publikation Bd. 1 teilw. mit d. Erscheinungsorten Basel, ist urheberrechtlich geschützt. Stuttgart Alle Rechte vorbehalten. NE: Jeltsch, Rita: Kein Teil dieses Buches darf ohne schriftliche Genehmigung Bd. 1. - 3. Aufl. - 1987 des Verlages in irgendeiner (Birkhäuser-Skripten ; Bd. 6) Form durch Fotokopie, ISBN 3-7643-1902-X Mikrofilm oder andere Verfahren NE: GT reproduziert oder in eine für Maschinen, insbesondere Datenverarbeitungsanlagen, verwendbare Sprache über tragen werden. Auch die Rechte der Wiedergabe durch Vortrag, Funk und Fernsehen sind vorbehalten. © 1987 Birkhäuser Verlag Basel ISBN-13: 978-3-7643-1902-1 e-ISBN-13:978-3-0348-9295-7 001: 10.1007/978-3-0348-9295-7 Vorwort Das vorliegende Taschenbuch gibt zusammen mit dem noch folgenden zweiten Band den Inhalt von Vorlesungen wieder, welche seit mehreren Jahren an der Eidgenössischen Technischen Hochschule Zürich (ETHZ) für Studierende der Elektrotechnik im zweiten Studienjahr gehalten werden. Diesen Vorlesungen geht im ersten Studienjahr eine gründliche Einführung in die Differential- und Integralrech nung voraus, welche auch die Elemente der Vektoranalysis und das Rechnen mit komplexen Zahlen umfasst. Im Mathematikunterricht für Ingenieure hat sich an der ETHZ die Tradition herausgebildet, das intuitive Erfassen der Tatsachen und Begriffe in den Vordergrund zu stellen und Beweisführungen nur da zu erbringen, wo sie zum anschaulichen Verständnis des Stoffes beitragen. Der Zielset zung der Ingenieurausbildung gemäss kann dagegen auf die vollständige Erarbeitung der logischen Grundlagen sowie auf das Erlernen einer eigentlichen Beweistechnik verzichtet werden. Die dadurch gewonnene Zeit wird zur Darstellung von Anwendungen benützt, die dem Erlebnisbereich des Ingenieurs nahestehen. Auch unsere für Ingenieure bestimmten Vorlesungen über komplexe Analysis halten sich an dieses bewährte Re zept. Studierende, welche sich näher über einen begrifflich vollständigen Aufbau der Theorie informieren möchten - und es gibt solche fast in jedem Jahrgang - sind gehalten, Einsicht in eines der zahlreichen guten für Mathematiker bestimmten Lehrbücher der komplexen Analysis zu nehmen. Zürich und Kassel, P. HENRICI im Sommer 1977 R. JELTSCH-FRICKER Inhaltsverzeichnis Band 1 1. Komplexe Funktionen einer komplexen Variablen 1.1. Begriff und geometrische Deutung. . . . . . . . . . . . 1 1.2. Die linearen Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3. Die quadratische Funktion. . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4. Die komplexe Exponentialfunktion. . . . . . . . . . . 21 1.5. Die Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.6. Der komplexe Logarithmus, allgemeine Potenzen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.7. Die loukowski-Funktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2. Die Möbius-Transformationen 57 2.1. Die Riemannsche Zahlenkugel . . . . . . . . . . . . . . 57 2.2. Geometrische Eigenschaften der Möbius- Transformationen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3. Analytische Funktionen 85 3.1. Komplexe Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.2. Analytische Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 3.3. Geometrische Deutung der komplexen Differenzierbarkeit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4. Lösung ebener Potentialprobleme durch konforme Abbildung 116 4.1. Konforme Verpflanzung von Potentialen . . . . . . . 116 4.2. Ebene elektrostatische Felder. . . . . . . . . . . . . . . 130 Inhaltsverzeichnis 4.3. Ebene stationäre Strömungen idealer inkompressibler Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . 148 Liste der Symbole. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Sachverzeichnis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 Band 2 5. Komplexe Integration 5.1. Definition und Berechnung komplexer Integrale 5.2. Integrale analytischer Funktionen 5.3. Die Cauchysche Integralformel 5.4. Anwendungen der Cauchyschen Integralformel 5.5. Die Taylor-Reihe 5.6. Die Laurent-Reihe 5.7. Isolierte Singularitäten 5.8. Residuenkalkül 6. Die Laplace-Transformation 6.1. Die Operatorenmethode 6.2. Die Laplace-Transformierte einer Originalfunktion 6.3. Analytische Eigenschaften der Laplace-Transformierten 6.4. Grundregeln der Laplace-Transformation 6.5. Gewöhnliche Differentialgleichungen 6.6. Die Übertragungsfunktion 6.7. Die Faltung 6.8. Die Rücktransformation 1 Komplexe Funktionen einer komplexen Variablen 1.1. Begriff und geometrische Deutung Gegenstand unserer Untersuchungen sind die komplexen Funktionen einer komplexen Variablen. Wir erklären in diesem Abschnitt, was darunter zu verstehen ist. Dazu benötigen wir zwei Begriffe, den Begriff der komplexen Zahl und den Begriff der Funktion. Wir nehmen an, dass der Leser die komplexen Zahlen und ihre Rechenregeln kennt. Insbesondere sollte der Leser mit der geometrischen Deutung der komplexen Zahlen als Punkte oder Vektoren einer Ebene, der sogenannten komplexen Ebene, vertraut sein, ebenso mit der geometri schen Deutung von Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division komplexer Zahlen. Es wird auch angenommen, dass die Schreibweise e i<l> : = cos 4> + i sin 4>, 4> reell , bekannt ist. Im Zusammenhang mit einer komplexen Zahl z werden die folgenden Bezeichnungen benutzt: Re z für den Realteil z, z Izl von Im für den Imaginärtei~ für den Betrag und i für die zu z konjugiert komplexe Zahl. Die Menge der komplexen Zahlen resp. die komplexe Ebene wird wie üblich mit C bezeichnet. Bekanntlich ist das Argument einer komplexen Zahl z ~ 0 nur bis auf ein Vielfaches von 211" bestimmt, während es für z = 0 nicht definiert ist. Wir bezeichnen die Menge aller Argumentwerte von z~ 0 mit {arg z}. Mit arg z meinen wir irgendeinen Wert dieser Menge. (Oft wird der Wert arg z 2 1. Komplexe Funktionen einer komplexen Variablen durch eine zusätzliche Bedingung, z.B. durch die Bedingung -'Tr < arg z ~ 'Tr, eindeutig festgelegt sein.) Ferner verwenden wir die beiden folgenden üblichen Darstellungen einer komplexen Zahl z (s. Fig. 1.1a): (i) die cartesische Koordinatendarstellung z=x+iy, wobei x:= Re z, y:= Im z; (ii) die Polarkoordinatendarstellung wobei r:=lzl, cf>: = arg z. y y!------,-:Jt z· X + iy x Fig. 1.1a Welches ist die allgemeine Bedeutung des Begriffs Funktion? Seien A und B zwei beliebige Mengen. Unter einer Funktion f von A in B versteht man eine Vorschrift, die jedem Element x E A genau ein Element y = f(x) E B zuordnet, symbolisch f:x-+f(x), xEA (s. Fig. 1.1b). x ist das Funktionsargument, y ist der Funktionswert von f (an der Stelle x). Man bezeichnet auch x als unabhängige, y als abhängige Variable. Die Menge A heisst der Dejinitionsbereich von f, Bezeichnung D(f). Die 1.1. Begriff und geometrische Deutung 3 Menge aller y E B, die Funktionswert von f sind, heisst der Wertebereich von f, Bezeichnung W(f). Fig. 1.1b Wir definieren nun: Eine komplexe Funktion ~iner komplexen Variablen ist eine Funktion, deren Definitions bereich und deren Wertebereich beides Punktmengen der komplexen Ebene sind. Gemäss dem allgemeinen Funktions begriff ordnet also eine solche Funktion f jedem Punkt z einer Punktmenge Ace genau einen Punkt w = f(z) E C zu: f:z--+ f(z), zEA (s. Fig. 1.1c); im konkreten Fall ist diese Zuordnung durch eine Formel gegeben. Die Bezeichnung z für das Funktions argument, w für den Funktionswert ist üblich, wobei man w = u + iv, u:= Re w, v:=Im w setzt. @v x u Fig. 1.1c