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Komplexe Analysis für Ingenieure Band 2 PDF
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Band 7 P. Henrici Birkhäuser R. Jeltsch Komplexe Analysis Skripten für Ingenieure Band 2 Birkhäuser Verlag Basel · Boston· Berlin Das Werk ist urheberrechtlich Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme geschützt. Die dadurch begrün deten Rechte, insbesondere die Henrici, Peter: der Übersetzung, des Nachdrucks, Komplexe Analysis für Ingenieure / Peter Henrici ; des Vortrags, der Entnahme von Rita Jeltsch. - Basel; Boston; Stuttgart : Abbildungen und Tabellen, der Birkhäuser Funksendung, der Mikroverfilmung Bd. 1 teilw. mit d. Erscheinungsorten Basel, oder der Vervielfältigung auf an Stuttgart deren Wegen und der Speicherung NE: Jeltsch, Rita: in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugs Bd. 2. - 2. Auf!. - 1987 weiser Verwertung, vorbehalten. (Birkhäuser-Skripten ; Bd. 7) Eine Vervielfältigung dieses ISBN 3-7643-1903-8 Werkes oder von Teilen dieses NE: GT Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheber rechtsgesetzes in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungs pflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmun gen des Urheberrechts. Zweiter Nachdruck 1996 © 1987 Birkhäuser Verlag, Postfach 133, CH-4010 Basel, Schweiz Gedruckt auf säurefreiem Papier, hergestellt aus chlorfrei gebleichtem Zellstoff. TCF 00 ISBN-13: 978-3-7643-1903-8 e-ISBN-13: 978-3-0348-9296-4 001: 10.1007/978-3-0348-9296-4 Inhaltsverzeichnis Band 2 5. Komplexe Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 5.1. Definition und Berechnung komplexer Inte- grale.. . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 5.2. Integrale analytischer Funktionen. . . . . . . . . . . 21 5.3. Die Cauchysche Integralformel. . . . . . . . .. . . . . 39 5.4. Anwendungen der Cauchyschen Integralformel 48 5.5. Die Taylor-Reihe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5.6. Die Laurent-Reihe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 5.7. Isolierte Singularitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 5.8. Residuenkalkül. . . . . . . . . . . . . . .. .. . . . . . . . ... 103 6. Die Laplace-Transformation1 126 •• • . . • • • •• •• • . • •. • .• 6.1. Die Operatorenmethode. . . . . . .... . .. .. . . ... 126 6.2. Die Laplace-Transformierte einer Original funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 130 6.3. Analytische Eigenschaften der Laplace-Trans- formierten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. 143 6.4. Grundregeln der Laplace-Transformation .... , 152 6.5. Gew?hnliche Differentialgleichungen. . . . . . . .. 169 6.6. Die Ubertragungsfunktion ................. 181 6.7. Die Faltung. . . . .. . . . . . .. .. . . . . .. . . . . . . . . .. 195 6.8. Die Rücktransformation ................... , 205 Liste der Symbole. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 226 Sachverzeichnis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 227 Da die Theorie der komplexen Integration erst gegen Ende von Kapitel 6 1) benötigt wird, können die Kapitel 5 und 6 gleichzeitig miteinander gelesen werden. Band I 1. Komplexe Funktionen einer komplexen Variablen 1 1.1. Begriff und geometrische Deutung. . . . . . . . . . . 1 1.2. Die linearen Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10 1.3. Die quadratische Funktion. . . . . . . . . . . . . . . . .. 14 1.4. Die komplexe Exponentialfunktion. . . . . . . . .. 21 1.5. Die Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 25 1.6. Der komplexe Logarithmus, allgemeine Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 31 1.7. Die loukowski-Funktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 42 2. Die Möbius-Transformationen. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 57 2.1. Die Riemannsche Zahlen kugel . . . . . . . . . . . . .. 57 2.2. Geometrische Eigenschaften der Möbius- Transformationen ......................... 69 3. Analytische Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 85 3.1. Komplexe Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . .. 85 3.2. Analytische Funktionen. . . . .. . . . . . . . . . . . . .. 96 3.3. Geometrische Deutung der komplexen Differenzierbarkeit ......................... 108 4. Lösung ebener Potentialprobleme durch konforme Abbildung ................................... 116 4.1. Konforme Verpflanzung von Potentialen ..... 116 4.2. Ebene elektrostatische Felder ............... 130 4.3. Ebene stationäre Strömungen idealer inkom- pressibler Aüssigkeiten ..................... 148 Liste der Symbole ................................ 158 Sachverzeichnis ................................... 159 5 Komplexe Integration 5.1. Definition und Berechnung komplexer Integrale Gegeben seien eine komplexe Funktion einer komplexen Variablen f: z fez) -? mit dem Definitionsbereich D(f) und eine in D(f) ver laufende endliche Kurve r in komplexer Parameterdarstel lung: r: t z(t), -? (s. Fig. 5.1a). Man beachte, dass die Kurve r orientiert ist; z(a) ist der Anfangspunkt von r, z(ß) der Endpunkt. Unser Ziel ist, das Integral der Funktion f längs der Kuroe r zu definieren. Dazu zerlegen wir r in n Teile. Die Teilpunkte seien der Reihe nach (beginnend beim An fangspunkt z (a)) z():= z(a), Zl' Z2"'" Z,,:= z(ß) (s. Fig. 5.1b); bezeichne den «komplexen Abstand» von ßZk zwei aufeinanderfolgenden Teilpunkten: k = 0, 1,2, ... , n-1. Weiter wählen wir auf jedem Kurvenstück zwischen zwei aufeinanderfolgenden Teilpunkten einen Zwischen Zk> Zk+1 punkt {k (der mit einem der beiden Endpunkte des Kurvenstücks zusammenfallen kann) und bilden nun damit die «Näherungssumme» "-I "-I I I Sn:= f({k)(Zk+I-Zk)= f({k) ßz k • k=O k=O 8 5. Komplexe Integration y x Fig.5.1a Fig. 5.1b Wir lassen jetzt n gegen gehen, indem wir die Zer 00 r legung von auf eine solche Weise sukzessive verfeinern, dass alle Abstände gegen Null streben. Der Grenzwert ÄZk der Summen Sn für n ~oo kann, muss aber nicht existieren. r Existiert der Grenzwert für jede Zerlegungsart von (mit ÄZk ~O) und für jede Wahl der Zwischenpunkte Cb und hat er immer denselben Wert, so heisst dieser Wert das Integral von f längs der Kurve r. Man setzt :t: 1 !~ !~ Sn = f(Ck)(Zk+l - z,J =: f(z) dz. (1) 5.1. Definition und Berechnung komplexer Integrale 9 Man spricht hier von einem komplexen Kurven in tegra I ; fist der Integrand, r der IntegratioRSlYeg. Ist insbesondere f auf der reellen Achse reellwertig und r ein Stück der reellen Achse mit dem Anfangspunkt x = a und dem Endpunkt x = ß (s. Fig. 5.lc), so stellt das Kur venintegral (1), da analog definiert, offenbar nichts anderes als ein «gewöhnliches» reelles (Riemannsches) Integral zwi schen den Grenzen a und ß dar: t l fez) dz = ß fex) dx. (2) y r a ß x Fig. 5.lc Bekanntlich kann das Integral (2) als Fläche gedeutet werden. Ein beliebiges komplexes Kurvenintegral hat keine unmittelbare geometrische Bedeutung. Es kann gezeigt werden, dass das komplexe Kurvenin tegral (1) unter den folgenden Voraussetzungen existiert: (i) f ist stetig; (ii) r besitzt eine Parameterdarstellung z(t), a ::::; t::::; ß, die bis auf endlich viele Stellen stetig differenzierbar ist, wobei z'(t)::j= O. Geometrisch bedeutet die Voraussetzung (ii), dass die r Kurve endlich viele «Knickstellen» haben kann, sonst aber 10 5. Komplexe Integration eine sich stetig ändernde Tangente aufweist. Man nennt eine solche Kurve auch stückweise glatt. Wir nehmen im folgenden stets an, dass die beiden Voraussetzungen (i) und (ii) erfüllt sind, was bei praktischen Anwendungsbeispielen i.allg. auch der Fall ist. Unter dieser Annahme braucht dann also zur Bestimmung des Integrals (1) der Grenzwert der Näherungssummen limn~ Sn nur für eine spezielle Art der Zerlegung von r und eine spezielle Wahl der Zwischenpunkte (k ermittelt zu werden. BEISPIELE CD r Sei f(z) : = z und der im positiven Sinn (d.h. 1m Gegenuhrzeigersinn) einmal durchlaufene Einheitskreis (s. Fig. S.ld). WeIchen Wert hat das Integral f z dz? r Wir wählen als Teilpunkte auf dem Einheitskreis Z k·. =qk, k = 0, 1,2, ... , n, y Zo 1 x Fig. 5.ld