Spectral and Evolution Problems Vol. 14 Спектральные и эволюционные задачи Том. 14 Editors: N. D. Kopachevsky, I. V. Orlov Taurida National V.Vernadsky University Simferopol, Ukraine Editorial Board: N. D. Kopachevsky (editor-in-chief, Simferopol, Ukraine) A. B. Antonevich (Minsk, Belarus) T. Ya. Azizov (Voronezh, Russia) Yu. V. Bogdansky (Kiev, Ukraine) A. A. Chikrii (Kiev, Ukraine) M. L. Gorbachuk (Kiev, Ukraine) M. M. Malamud (Donetsk, Ukraine) I. V. Orlov (associate editor, Simferopol, Ukraine) Ya. A. Roitberg (Chernigov, Ukraine) A. G. Rutkas (Kharkov, Ukraine) Yu. S. Samo˘ılenko (associate editor, Kiev, Ukraine) A. L. Skubachevskii (Moscow, Russia) Advisory Editorial Board: M. S. Agranovich (Moscow, Russia) K. I. Chernyshov (Voronezh, Russia) V. A. Derkach (Donetsk, Ukraine) Yoshinori Kametaka (Osaka, Japan) V. I. Ovchinnikov (Voronezh, Russia) S. N. Samborsky (Caen, France) L. R. Volevich (Moscow, Russia) V. I. Zhukovskiy (Moscow, Russia) Editorial Group: I. V. Orlov (Simferopol, Ukraine) P. A. Starkov (Simferopol, Ukraine) Simferopol, Ukraine Taurida National V.Vernadsky University Black Sea Branch of Moscow State University Crimean Scientific Center of Ukrainian NAS Crimean Academy of Sciences Crimean Mathematical Foundation SPECTRAL AND EVOLUTION PROBLEMS Proceedings of the Fourteenth Crimean Autumn Mathematical School-Symposium (KROMSH-2003) September 18 – 29, 2003, Sevastopol, Laspi Volume 14 Simferopol, 2004 UDC 517.432+517.515+515.958 Spectral and Evolution problems: Proceedings of the Fourteenth Crimean Autumn Mathematical School-Symposium. Vol. 14. /Group of authors. — Simferopol: Taurida National V. Vernadsky University, Black Sea Branch of Moscow State University, Crimean Scientific Center of Ukrainian NAS, Crimean Academy of Sciences, Crimean Mathematical Foundation, 2004. — ??? pp. — in English and Russian. This collection contains accounts of lectures and papers of the participants of the FourteenthCrimeanAutumnMathematicalSchool-Symposium,whichwasheldbytheCrimean Mathematical Foundation. The materials of the Symposium are devoted to the actual mathematical investigations in the field of spectral and evolutionary problems, and to the close questions. It is addressed to teachers, scientists, senior and post-graduated students of mathematical and physical specialities. c Taurida National V.Vernadsky University ° Black Sea Branch of Moscow State University Crimean Scientific Center of Ukrainian NAS Crimean Academy of Sciences Crimean Mathematical Foundation, 2004. iii Предисловие Четырнадцатая Крымская Осенняя Математическая школа-Симпозиум КРОМШ-2003 проходила с 18 по 29 сентября 2003г. в поселке Ласпи, в одном из лучших мест Южного Берега Крыма – заливе Батилиман, на территории базы отдыха "Чайка". Как и в предыдущие годы, Оргкомитет КРОМШ возглавлял заведующий кафедрой ма- тематического анализа Таврического Национального Университета им. В.И.Вернадского, профессор Н.Д.Копачевский. Организация и проведение Школы проходили при участии членов локального Оргкомитета, сотрудников кафедры Б.Д.Марянина, М.А.Муратова, И.В.Орлова, Ю.С.Пашковой, С.И.Смирновой, П.А.Старкова. В работе Симпозиума приняли участие около 150 математиков из Украины, России, Бе- лоруси,Армении,Польши,Израиля,ЯпониииФранции.Срединихбыломногоизвестных математиков, много и молодых ученых, аспирантов, студентов. На Школе были представлены четыре секции; две из них состояли из двух подсекций. Секция 1. Спектральные задачи. Подсекция 1.1. Несамосопряжённые операторы (Руководители: Антоне- вич А. Б. (Минск), Овчинников В. И. (Воронеж), Самойленко Ю. С. (Киев), Шульман В. С. (Вологда). Подсекция 1.2. Спектральная теория операторных пучков (Руководители: Шка- ликов А. А. (Москва), Копачевский Н. Д. (Симферополь), Хромов А. П. (Саратов), Рыхлов В. С. (Саратов), Хацкевич В. А. (Кармиэль). Секция 2. Эволюционные и краевые задачи. Подсекция 2.1. Дифференциально-операторные уравнения (Руководители: Во- левич Л. Р. (Москва), Якубов С. Я. (Хайфа), Власов В. В. (Москва), Черны- шов К. И. (Воронеж), Хапаев М. М. (Москва). Подсекция 2.2. Краевые задачи (Руководители: Агранович М. С. (Москва), Ску- бачевский А. Л. (Москва), Каметака Йошинори (Осака), Солонников В. А. (Санкт- Перербург). Секция 3. Управление и экономическое поведение (Руководители: Коробов В. И. (Ще- цин), Зеликин М. И. (Москва), Жуковский В. И. (Москва), Курина Г. А. (Воронеж). Секция 4. Информатика и дискретная математика (Руководители: Гу- ров С. И. (Москва), Донской В. И. (Симферополь), Сапоженко А. А. (Москва). На КРОМШ-2003 было прочитано около 50 лекций. Ниже приводится список лекций. 1. Агранович М. С. (Москва, Россия) 1) Спектральные граничные задачи для системы Дирака 2) Суммирование ортогональных рядов 2. Антоневич А. Б. (Минск, Белоруссия) Автоморфизмы алгебры матриц-функций 3. Власенко М., Меллит А., Самойленко Ю. С. (Киев, Украина) О проблеме Г. Вейля и диаграммах Дынкина 4. Власов В. В. (Москва, Россия) Об асимптотическом поведении и оценках решений функционально-дифференциальных уравнений 5. Волевич Л. Р. (Москва, Россия) 1) Устойчивые пучки полиномов и цепочки Греда кинетических уравнений 2) Задача Коши для гиперболических уравнений с малым пара- метром 6. Глушак А. В. (Воронеж, Россия) Абстрактные дифференциальные уравнения с дроб- ной производной 7. Дмитрук А. В. (Москва, Россия) Нелокальные люстерниковские оценки расстояния до множества нулей нелинейного оператора 8. Дудов С. И. (Саратов, Россия) Наилучшее приближение выпуклого компакта шаром произвольной нормы 9. Жуковский В. И. (Москва, Россия) Достоинства и недостатки равновесия по Нэшу iv 10. Зеликин М. И. (Москва, Россия) Геометрия двойного отношения и иерархия Кадомцева-Петвиашвили 11. Kametaka Yoshinori (Osaka, Japan) Biharmonic operator in a sphere 12. Коробов В. И. (Щецин, Польша) Решение задачи оптимального допустимого синтеза 13. Куракин Л. Г., Юдович В. И. (Ростов-на-Дону, Россия) О нелинейной устойчивости стационарных вращений Томсоновских вихревых многоугольников 14.КуринаГ.А.(Воронеж,Россия)1)Оприводимостиодногоклассаоператор-функций 2) О разрешимости задач управления для дискретных дескриторных систем 15. Левенштам В. Б. (Ростов-на-Дону, Россия) Усреднение квазилинейных параболиче- ских уравнений, содержащих быстроосциллирующие слагаемые с большими амплитудами 16. Лебедев А. В. (Минск, Белоруссия) Что такое математическая термодинамика 17. Маламуд М. М., Маламуд С. М. (Донецк, Украина) Аналог теоремы Пуанкаре о перемежаемости для нормальных матриц и теорема Гаусса-Лукаса 18. Марченко В. М. (Минск, Белоруссия) Двойственность в задачах управления и на- блюдения для гибридных систем с последействием 19. Мельникова И. В. (Екатеринбург, Россия) Полугрупповые методы регуляризации некорректных дифференциальных задач 20. Моторный В. П. (Днепропетровск, Украина) О сходимости рядов Якоби в L . p 21. Мышкис А. Д. (Москва, Россия) Импульсные дифференциальные уравнения 22. Новокшенов В. Ю. (Уфа, Россия) Специальные функции и метод задачи Римана 23. Овчинников В. И. (Воронеж, Россия) О точности теорем вложения для обобщенных пространств Лионса-Петре 24. Петров В.Э. (С-Петербург, Россия) Интегральное преобразование на отрезке и мно- гочлены Якоби 25. Печенцов А. С., Попов А. Ю. (Москва, Россия) Асимптотическое поведение плотно- сти спектральной меры оператора Штурма-Лиувилля 26. Рабах Рабах (Нант, Франция) Неэкспоненциальная устойчивость систем нейтраль- ного типа 27. Рыхлов В. С. (Саратов, Россия) О полноте собственных функций простейшего диф- ференциального оператора 28. Рябенький В. С. (Москва, Россия) Неотражающие искусственные граничные усло- вия,равносильнозаменяющиесистемуМаксвеллавнеограниченнойрасчетнойподобласти 29. Савин А. Ю. (Москва, Россия) Эллиптические операторы на многообразиях с осо- бенностями и К-теория 30. Самборский С. Н. (Кан, Франция) Лекции по дифференциальному исчислению, или как дифференцировать разрывные функции, чтобы была верна теорема о конечном приращении (Цикл из трех лекций по заказу Оргкомитета) 31. Седлецкий А. М. (Москва, Россия) Негармонический анализ в весовых простран- ствах 32. Сильченко Ю. Т. (Воронеж, Россия) Абстрактная задача Коши с необратимым опе- ратором при производной 33. Скляр Г. М. (Щецин, Польша) Новые результаты об управляемости вращающейся балки Тимошенко 34. Скубачевский А. Л. (Москва, Россия) Эллиптические задачи с нелокальными крае- выми условиями в двумерных и многомерных областях 35. Соболевский П. Е. (Иерусалим, Израиль) Well-posedness of difference elliptic equation 36. Солонников В. А. (Санкт-Петербург, Россия) Об устойчивости неосесимметричных фигур равновесия вращающейся жидкости 37. Стебловская В. Р. (Boston, USA) Topics from mathematics of finance 38. Хапаев М. М. (Москва, Россия) О некоторых сингулярно возмущенных задачах v 39. Хацкевич В. А. (Кармиэль, Израиль) [3 лекции] Operator Fractional Relations: Theory and Applications 1) Dichotomy of solutions to nonautonomous dynamic system and operator linear fractional relations 2) Phillips extension problem of pairs of dual subspaces and operator linear fractional relations 3) Koenigs embedding problem on iterates of holomorphic mapping and operator linear fractional relations 40. Хромов А. П. (Саратов, Россия) Интегральные операторы с переменным пределом интегрирования 41. Чернышов К. И. (Воронеж, Россия) Об операторе Коши нестационарных линейных дифференциальных уравнений с малым параметром при производной 42. Шкаликов А. А. (Москва, Россия) Спектральные портреты несамосопряженных за- дач с малым параметром 43. Шульман В. С. (Вологда, Россия) Топологические радикалы в банаховых алгебрах 44. Якубов С. Я. (Израиль) Начально-краевая задача для дифференциально- операторных уравнений гиперболического типа Большинство участников Школы представили доклады на заседаниях секций и под- секций. Как всегда, обмен научной информацией не укладывался в формальные рамки. Активное и плодотворное неформальное общение стало многолетней традицией КРОМШ. В настоящем сборнике трудов КРОМШ-2003 представлены как материалы лекций и докладов, сделанных на Школе, так и некоторые работы участников, формально не доло- женные на Школе. _ Светлой памяти Оксаны Андреевны Зиза СУММИРОВАНИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ М. С. Агранович Московский институт электроники и математики (МИЭМ) Москва, Россия Это краткий обзор некоторых направлений в теории суммирования ортогональ- ных рядов, написанный в основном по монографии О. А. Зиза (1999). This is a short survey of some aspects in the theory of summability of orthogonal series. It is mainly based on the monograph by O. A. Ziza (1999). 1. Введение Пусть f (x) — ортонормированная система функций, ОНС, из L2[0,1]. Если c { n }∞0 { n}∞0 — числовая последовательность из l2, то по теореме Фишера–Рисса ряд ∞ c f (x) (1) n n 0 X сходится в L2[0,1] к некоторой функции f(x), при этом она имеет коэффициенты Фурье c по данной системе. Такой ряд называют ортогональным рядом. Все числа и функции n считаем вещественными. Согласно знаменитой теореме Карлесона (1966), если f — тригонометрическая систе- n { } мана[0,1],торяд(??)сходитсякf(x)почтивсюдуна[0,1].ВслучаеобщейОНС f дав- n { } но возник следующий вопрос: при каких дополнительных условиях на коэффициенты c n имеет место сходимость ряда (??) к f(x) почти всюду. Согласно теореме Д. Е. Меньшова– Радемахера (1923, 1922) (см. [?], [?] или [?]), таким условием является неравенство ∞ c2 ln2n < , (2) n ∞ 2 X причем это условие нельзя ослабить. Это примеры известных теорем в теории ортогональных рядов. Об их предыстории мы скажем несколько слов в разд. ??. Д. Е. Меньшову принадлежит также более об- щая постановка вопроса: при каких условиях на коэффициенты ортогональный ряд (??) суммируется к f(x) почти всюду тем или иным регулярным методом суммирования. Напомним для начала простейший метод суммирования — метод средних арифмети- ческих. Числовой ряд ∞ u (3) n 0 X c последовательностью частных сумм S , по определению, суммируется этим методом к n числу S, если арифметические средние 1 S = (S + +S ) (4) n 0 n n+1 ··· сходятсякS.Вэтомслучаеговоряттакже,чтометодсреднихарифметическихсуммирует последовательность S к S. n { } Кстати, напомним теорему Фейера (1900) из курса анализа: тригонометрический ряд Фурьенепрерывнойпериодическойфункцииравномерносуммируетсякнейметодомсред- них арифметических. Непрерывности и периодичности мало для поточечной сходимости (дю Буа-Реймон, Фейер, Лебег). 4 Прирассмотрениисуммируемостиортогональныхрядоввозникаетрядсодержательных вопросов; некоторые из них будут упомянуты в настоящем докладе. Не случайно они при- влекали классиков анализа (в особенности в начале ХХ века). Вслед за ними исследования продолжали другие математики. Теория ортогональных рядов, включающая теорию их суммирования, — это увлека- тельная область математического анализа, в которой результаты часто представляют об- щематематический интерес. Упомянем, что некоторые факты этой теории сохраняются, если заменить отрезок пространством с мерой. (Но мы не будем в это углубляться.) И на- помним, что, как хорошо известно, самосопряженный дифференциальный или псевдо- дифференциальный оператор с дискретным спектром имеет полную ОНС из собственных функций. Оксана Андреевна Зиза занималась главным образом построением теории суммирова- ния общих ортогональных рядов методами (ϕ,λ). Это обширный класс, содержащий три с половиной десятка классических методов суммирования, возникших в разных вопро- сах анализа. О. А. провела его исследование в нескольких направлениях. Отправляясь от классических постановок и результатов, она обобщила результаты своих предшественни- ков и доказала ряд теорем общего характера о суммировании ортогональных рядов мето- дами (ϕ,λ). Из этих теорем следует много новых конкретных результатов для известных классических методов. Настоящий доклад, прочитанный в 14-й Крымской осенней математической школе в 1 сентябре 2003 г., является обзором этой деятельности в основном на базе книги [?] . Ис- пользованы также работы [?], [?] Оксаны Андреевны и тексты ее выступлений в 2001–02 гг. (на семинаре в Г¨eтеборге и на конференциях в Таллинне, Дюрсо и Ханое). Доклад на- писан для математиков, не являющихся специалистами по теории ортогональных рядов, и его автор тоже не является таким специалистом. Доказательства и другие подробности следует смотреть в первую очередь в цитируемой здесь литературе. Мы останавливаемся в разд. ??–?? сравнительно подробно на трех вопросах: сравнение и эквивалентность методов суммирования; множители Вейля; перестановки в ортогональ- ных рядах. Это соответственно материал глав II и IV книги [?] и последней работы [?] О. А. Зиза. Некоторые другие вопросы, обсуждаемые в книге, упоминаются в разд. ??. Разумеется, мы не затрагиваем многие детали. Это касается и ссылок. Литература в [?] содержит 31 название монографий и обзоров и 260 оригинальных статей более чем 140 авторов. Сделать ссылки полными в настоящем докладе не было никакой возможности. Оксана Андреевна погибла в результате несчастного случая 8 ноября 2002 года в горном парке Кисловодска. 2. Методы суммирования числовых рядов 2.1. Основные определения. Матричный метод суммирования числовых рядов (??), или метод Теплица, задается матрицей B = (b ) , (5) n,k ∞n,k=0 преобразующей последовательность частных сумм S в новую последовательность «сред- n них» T = b S (6) n n,k k k X (здесь и дальше подразумевается, что все выписываемые ряды должны сходиться). Если последовательность (??) сходится к числу S, то говорят, что этот метод суммирует ряд 1 Желающие получить эту книгу могут обратиться к автору настоящего доклада по электронному адресу [email protected] 5 (??) (и последовательность S ) к S. Например, метод средних арифметических имеет n { } нижнюю треугольную матрицу 1 0 0 0 ... 1 1 0 0 ...  2 2 . 1 1 1 0 ... 3 3 3 ... ... ... ... ...     Метод суммирования называется регулярным, если он суммирует любой сходящийся ряд к его сумме. Три условия, необходимые и (вместе) достаточные для регулярности, хорошо известны (и легко проверяются), cм. [?] или [?]: lim b = 0 (k = 0,1,...), n,k n →∞ lim b = 1, n,k n (7) →∞ k X b Const (n = 0,1,...). n,k | | ≤ k X Как легко видеть, метод средних арифметических регулярен. Он содержится в шкале методов Чезаро (C,α) (будем считать, что α > 0) со средними 1 n n+α − n k +α 1 Sα = − − S . (8) n n n k k µ ¶ k=0µ − ¶ X ВсеметодыЧезарорегулярны,см.[?]или[?].Методсреднихарифметических—этометод (C,1). Далее мы рассматриваем только регулярные методы. Если метод T суммирует все последовательности, суммируемые методом T , и притом 2 1 к тем же суммам, то говорят, что метод T не слабее метода T , и пишут T T . Если 2 1 1 2 ⊂ T T и T T , то эти методы называют эквивалентными и пишут T T . Если 1 2 2 1 1 2 ⊂ ⊂ ∼ T T и эквивалентности нет, говорят, что метод T сильнее метода T . Например, 1 2 2 1 ⊂ метод (C,α) сильнее метода (C,α) при α < α, cм. [?] или [?]. ′ ′ Подставляя S = u u , легко формально преобразовать B в матрицу, переводящую n n n 1 − − последовательность членов ряда u в последовательность средних T . Получаемый при n n′ этом метод T эквивалентен исходному методу T, если строки в матрице B конечны. Это ′ достаточное условие для эквивалентности. Кроме методов с дискретным параметром n, рассматривают методы с непрерывным параметромt,стремящимся,скажем,к0,1или+ .Например,метод Абеля определяется ∞ следующим образом: обобщенная сумма ряда (??) есть ∞ S = lim u tn, (9) n t 1 ↑ 0 X если этот предел существует и конечен. Здесь вспоминается «вторая теорема Абеля» в курсе анализа. Метод Абеля тоже регулярен и сильнее всех методов Чезаро, см. [?] или [?]. 2.2. Методы (ϕ,λ). Каждый метод из этого класса задается функцией ϕ(t) на [0, ) ∞ c пределом 1 в t = 0 и нулевым пределом на + и последовательностью λ чисел λ : n ∞ 0 λ < λ < ..., λ . Метод суммирует ряд (??) к числу S, если 0 1 n ≤ → ∞ ∞ σ(t) = u ϕ(λ t) S (t 0). (10) n n → → 0 X