• • • • • • • • • • • • • • • • • • • Türev Alma Kurallar• • • • • • • • • • • • • • Türevlerin, eğim ve değişim hızı olarak nasıl yorumlanaca bölümde tanımı doğrudan kullanmadan türev bulma yön ğını gördük. Değer tablolarıyla verilen fonksiyonların tü temleri geliştireceğiz. Bu türev alma kuralları, polinomla- revlerinin yaklaşık olarak nasıl hesaplanacağını da gör rın, rasyonel fonksiyonların, üstel fonksiyonların, logarit- A. dük. Grafikleri verilmiş fonksiyonların türevlerinin ma fonksiyonlarının, trigonometrik ve ters trigonometrik grafiklerinin nasıl çizileceğini öğrendik. Formüllerle veril fonksiyonların türevlerini kolaylıkla hesaplamamıza olanak A. miş fonksiyonların türevlerini hesaplamak için türevin tanı­ verir. Daha sonra bu kuralları, değişim hızlarını, paramet- mını kullandık. Fakat her zaman tanımı kullanmak zorun rik eğrilerin teğetlerini ve fonksiyonların yaklaşımlarını içe- A. da kalmak hesap yapmayı yavaşlatacağından, bu ren problemleri çözmek için kullanacağız. Polinomların ve Üstel Fonksiyonların Türevleri • • • • Bu bölümde, sabit fonksiyonlann, kuvvet fonksiyonlarının, polinomlann ve üste! y fonksiyonlarının türevlerini nasıl alacağırnızı öğreneceğiz. c y=c Tüm fonksiyonların en basiti olan f (x) = c sabit fonksiyonu ile başlayalım. Bu eğim =O fonksiyonun grafiği, eğimi O olan y = c yatay doğrusudur, bu nedenle f'(x) = O ol malıdır. (Bkz. Şekil 1.) Türevin tanırnım kullanan kanıt da kolaydır: o X f'(x) = lim f(x + h) - f(x) = lim c - c •-o •-o h h ŞEKiL 1 =Jim O= O f(x) = c nin grafiği y =c Jı~o doğrusudur. Bu nedenle f'(x) = O dır. Leibniz gösterimiyle bu kuralı şöyle yazarız: d Sabit Fonksiyan Türevi -(c) = O dx ~ Kuvvet Fonksiyonları Şimdi de, n pozitif tamsayı olmak üzere f(x) = x" fonksiyanlarına bakalım. n = 1 ise, )' f (x) = x fonksiyonunun grafiği, eğimi l olan y = x doğrusudur (Bkz. Şekil 2). Bu nedenle y=x d eğim = 1 dx (x) = 1 o X olur. (Denklem 1 i türevin tammını kullanarak da doğrulayabilirsiniz.) n = 2 ve n= 3 durumlarını zaten inceledik. Gerçekten de, Bölüm 2.8 de (Alıştırma 17 ve 18), ŞEKIL 2 f(x) = x in grafiği y = x doğrusudur, bu nedenlef'(x) = 1 dir. • • • • • • • • • • • • • • • • 189 190 • ÜNITE 3 TÜREVALMA KURALLARI olduğunu bulmuştuk. n= 4 içinf(x) = x4 ün türevini . f(x + h) - f(x) . (x + h)4 - x4 j'(x) = lım = lım h lı->0 h lı->0 = Jim (4x3 + 6x2h + 4xh2 + h3) = 4x3 lı----+0 olarak buluruz. Bu nedenle, olur. (1), (2) ve (3) deki eşitlikleri karşılaştırdığımızda, bir düzenliliğin ortaya çıktığını görürüz. Burada, n pozitif bir tamsayı iken (d/ dx)(x") = nx"-ı olduğunu tah min etmek akla yatkın görünmektedir. Bu, gerçekten de doğrudur. Kuvvet Kuralı n pozitif bir tam sayı olmak üzere, -d (x") = nx"-ı d'ı r. dx Kanıt f(x) = x" ise, f( + h) f( ) . (x + h)" - x" f'(x) = Jim x - x = lım-'---'--- ,_o h h->O h A. Binom teoremi, Boşvuru Sayfası 1 de olur. x4 ün türevini bulurken (x + h)4 ifadesini açmak zorundaydık. Burada (x + h)" verilmektedir. ifadesini açmarnız gerekmektedir ve bunun için Binom Teoremini kullanırız. Birinci terim dışında her terimin h çarpanı olduğundan, bu terimler O a gider ve [ x" + nx"-ıh + n(n; 1) x"-2h2 + · · · + nxh"-1 +h"] - x" f'(x) = Jim -=----------h--------=--- ~ı~o n(n - 1) nx"-1h + x"-2h2 + · · · + nxh"-1 + h" 2 = Jim------------------------------------- h->0 h = 1im [nx"-1 + n(n- 1) x"-2h + · · · + nxh"-2 + h"-1] 2 h->0 • elde ederiz. Örnek l de, Kuvvet Kuralı'nı değişik gösterimlerle açıklamaktayız. BÖLÜM 3.1 POLINOMLARIN ÜSTEL FONKSIYONLARlN TÜREVLERI + 191 ÖRNEK 1 (a) f(x) = x6 ise, f'(x) = 6x5• (b) y = x1000 ise, y' = 1000x999. d (c) y = t4 ise , ddyt = 4t3 (d) - (r3) = 3r2 • o dr Üsleri negatif olan kuvvet fonksiyonlan için ne denebilir? Alıştırma 53 de türevin tanımını kullanarak olduğunu göstermenizi istiyoruz. Bu denklemi, biçiminde de yazabiliriz, dolayısıyla Kuvvet Kuralı n= -1 için de doğrudur. Bir son raki bölümde (Alıştırma 43) bu kuralın her negatif tamsayı için doğru olduğunu göstereceğiz. Üs bir kesirse ne olur? Bölüm 2.8 deki Örnek 4 de d -JX=ı 2vfx dx olduğunu bulduk. Bu ifade, biçiminde yazılabilir. Bu da kuvvet Kuralının n = k için de doğru olduğunu gösterir. Aslında bu kuralın her n gerçel sayısı için doğru olduğunu Bölüm 3.7 de göstereceğiz. .i. Şekil 3, Örnek 2(b) deki y fonksiyonu Kuvvet Kuralı (Genel Biçim) Her n gerçel sayısı için, ve onun türevi olan y'nü gösterir. y nin O da türevlenebilir olmadığına dikkat ediniz !!:__ (x") = nx"-1 dir. (y' bu noktada tanımlı değildir). y arttığı dx zaman y'nün pozitif ve yazaldığı zaman y' nün negatif olduğunu gözlemleyin iz. ÖRNEK 2 Aşağıdaki türevleri alınız: 2 (a) f(x) = 2ı (b) y = ~ X ÇÖZÜM İki durumda da, fonksiyonu x in bir üssü olarak yeniden yazanz. (a)f(x) = x·2 olduğundan, n= -2 için Kuvvet Kuralı'nı uygularız: d 2 f'(x) =- (x-2) = -2x-z-ı = -2x-3 = -- dx x3 -2 ŞEKiL 3 • y=if0 (b) 192 • ÜNITE 3 TÜREVALMA KURALLARI 3 ÖRNEK 3 y = xJX eğrisinin (1, 1) noktasındaki teğet doğrusunun denklemini bulunuz. Eğrinin ve teğetinin grafiğini çiziniz. ÇÖZÜM f(x) = xJX = xxı12 = x312 fonksiyonunun türevi f'(x) = ~x(3/2)-ı = ~xı12 = ~JX y= ı3 x-2ı olur. Dolayısıyla, (1, 1) deki teğet doğrusunun eğimi f'(l) = ~ dir. Bu nedenle, teğet doğrusu y - 1 = ~(x - 1) ya da Y = ı3 x- 2ı ŞEKiL 4 dir. Şekil 4 de eğri ve teğet doğrusunun grafikleri çizilmiştir. ~ Bilinen Türevierden Yeni Türevler Elde Etmek Eldeki fonksiyonlardan toplama, çıkarma veya bir sabitle çarpma yoluyla elde edilen yeni fonksiyonların türevleri, eldeki fonksiyonların türevleri cinsinden hesaplanabilir. Aşağıdaki formül, bir fonksiyonun sabitl e çarpılmasıyla elde edilen yeni fonksiyonun türevinin, ilk fonksiyonun türevinin bu sabitle çarpılması ile elde edildiğini söyle mektedir. Sabit le Çarptm Kuralı c bir sabit ve f türevlenebilir bir fonksiyonsa, d d dx [cf(x)] = c dx f(x) dir. .6. Sabitle Çarpım Kuralı'nın Geometrik Yorumu y Kanıt Kanıt g(x) = cf(x) olsun. O zaman, ~ y=2f(x) g'(x) = lim g(x + h) - g(x) = lim cf(x + h) - cf(x) •-o •-o ~ y=f(x) h h J = Jim c[ f(x + h) - f(x) 0 X •-o h c = 2 ile çarpmak grafiği dikey olarak = c lim f(x + h) - f(x) •-o (Limitlerin Kural 3'ü nedeniyle) 2 kat gerer. Tüm yükseklikler 2 katına h çıkar, ancak genişlikler değişmez. Dola yısı ile eğimler de iki katına çıkar. = cf'(x) ÖRNEK 4 d d (a) - (3x4) = 3-(x4) = 3(4x3) = 12x3 dx dx d d d (b) dx (-x) = dx [(-l)x] = (-1) dx (x) = -1(1) = -1 • Bir sonraki kural, fonksiyonların toplamının türevinin, fonksiyonların türevlerinin toplamına eşit olduğunu söylemektedir. .6. Üs gösterimi kullanarak toplam kuralını Toplam Kuralı f ve g türevlenebilir ise, (J + g)' = f' + g' biçiminde yazabii i riz. d d d dx [!(x) + g(x)] = dx f(x) + dx g(x) dir. BÖLÜM 3.1 POLINOMLARIN ÜSTEl FONKSIYONlARlN TÜREVLERI • 193 Kanıt F(x) = f(x) + g(x) olsun. Bu durumda F'(x) = lim F(x + h) - F(x) lı--->0 h = lim [f(x + h) + g(x + h)] - [f(x) + g(x)] h lı--->0 J = lim [ f(x + h) - f(x) + .:::.g_:_(x_+_h):......-----"g-'-(x.:_) lı--->0 h h = lim f(x + h) - f(x) + lim .:::.g_:_(x_+_h.:..._) _-__,g'--'-(x--'-) (Kural 1 den) h--->0 h h--->0 h = f'(x) + g'(x) • olur. .. Toplam Kuralı, herhangi bir sayıdaki fonksiyonun toplamına genelleştirilebilir. Omeğin, bu teorerni iki kez kullanarak, (f + g + h)' = [{f + g) + h]' = (f + g)' + h' = f' + g' + h' elde ederiz. f- g fonksiyonunu f + (- l)g biçiminde yazarak ve Toplam ve Sabitle Çarpım Kurallarını uygulayarak, aşağıdaki formülü elde ederiz. Fark Kuralı fve g türevlenebilir ise, d d d dx [f(x) - g(x)] = dx f(x) - dx g(x) dir. Aşağıdaki örnekte gösterildiği gibi, herhangi bir polinomu n türevini almak için, bu üç kural Kuvvet Kuralı ile birleştirilebilir. ÖRNEK S d Bunun gibi daha çok problem - (x8 + 12x5 - 4x4 + 10x3 - 6x + 5) dx çözmeyi deneyiniz. Resources 1M odule 4 1P olynomial Models = !!__ (x8) + 12 !!__ (x5) - 4 !!__ (x4) + 10 !!__ (x3) - 6 !!__ (x) + !!__ (5) 1B asic Diflerentiation Rules dx dx dx dx dx dx and Ouiz = 8x7 + 12(5x4)- 4(4x3) + 10(3x2) - 6(1) +O • ÖRNEK 6 y = x4 - 6x2 + 4 eğrisi üzerindeki, teğet doğrusunun yatay olduğu nokta ları bulunuz. ÇÖZÜM Yatay teğetler, türevin sıfır olduğu noktalardaki teğetlerdir. Öncelikle, dy = !!__ (x4) - 6 !!__ (x2) + !!__ (4) dx dx dx dx = 4x3 - 12x + O = 4x(x2 - 3) 194 • ÜNiTE 3 TÜREVALMA KURALLARI elde edeiz. Dolayısıyla, x =O ve x2 - 3 = O denkleminin kökleri olan x = ±..[3 için dy/dx =O olur. Bu nedenle, verilen eğri x =O, .j3 ve -.j3 için yatay teğetlere sahiptir. Bu değerlere karşılık gelen noktalar (0, 4), (.j3, -5) ve ( - ..[3, -5) dir. (Bkz. Şekil 5) $EKIL S y=x'-6x2+4 eğrisi ve yatay teğetleri ÖRNEK 7 Bir parçacığın hareketinin denklemi, s santimetre vet saniye cinsinden olmak üzere, s = 2t3 - 5t2 + 3t + 4 olarak verilmiştir. İvıneyi zamana bağlı bir fonksiyon olarak bulunuz. 2 saniye sonraki ivme nedir? ÇÖZÜM Hız ve ivme ds v(t) = - = 6t2 - lOt + 3 dt dv a(t) = - = 12t - ıo dt dur. 2 saniye sonraki ivme a(2) = 14 cm/snı dir. ~ Üstel Fonksiyonlar Türevin tanımını kullanarak, f(x) = ax üstel fonksiyonunun türevini hesaplamaya çalışalım: , . f(x + h) - f(x) . ax+Jı - ax f (x) = lım = lım---- ~ı-o h 1ı-o h ax çarpanı h ye bağlı değildir, dolayısıyla limitin dışına alınabilir: a"- ı f'(x) = ax !im--- Jı-o h Bu limitf nin türevinin O daki değeridir, bir başka deyişle, a"- ı Jim = f'(O) 1ı-o h Dolayısıyla, şunu göstermiş olduk; eğer f(x) = ax üste! fonksiyonu O da türevlenebilirse, her yerde türevlenebilirdir ve f'(x) = f'(O)ax BÖLÜM 3.1 POLINOMLARIN ÜSTEL FONKSIYONLARlN TÜREVLERI + 195 olur. Bu eşitlik, her üste/fonksiyonun değişim hızının,fonksiyonun kendisiyle doğru orantılı olduğunu söyler. (Eğim yükseldikle doğru orantılıdır. Soldaki tabloda, a = 2 ve a = 3 durumlarında, f'(O) türevinin varlığına ilişkin sayısal bulgular verilmekte h -2"---ı -3"-- -ı dir. (Değerler, virgülden sonraki dördüncü hasarnağa kadar doğru olacak biçimde h h verilmiştir. a = 2 için, Bölüm 2.7 deki Örnek 3 e bakınız.) Limit var gibi görünmek tedir ve 0,1 0,7177 1,1612 0,01 0,6956 1,1047 0,001 0,6934 1,0992 2"- ı 0,0001 0,6932 1,0987 a = 2 için f'(O) = lim -- = 0,69 1ı~o h 3/ı - ı a = 2 için, f'(O) = lim - - = 1,.10 lı->0 h elde ederiz.Aslında, bu limitlerin varlığı gösterilebilir ve değerleri virgülden sonra altı basamak doğrulukla, ~ ~ ı,0986ı2 lx-O= lx-O= (2x) 0,693147 (3") dir. Bu nedenle, Denklem 4 den ~ (2x) = (0,69)2' ~ (3") = (l,lü)Y .6. Alışiırma 1 de, e nin 2,7 ile 2,8 arasında oldu(lunu görece(Jiz daha sonra, virgülden sonra beşinci basama(Ja Denklem 4 deki olası a seçimleri içinde, en basit türev alma formülü f'(O) = 1 kadar do(Jru olacak şekilde e= 2,71828 durumunda elde edilir. a = 2 ve a = 3 için f'(O) yaklaşık değerlerini düşünürsek, 2 ile oldu(lunu görece(Jiz. 3 arasında f'(O) = 1 olmasını sağlayan bir a sayısı olması akla yatkın görünmektedir. Geleneksel olarak, bu sayıyı e ile gösteri riz. (Aslında, Bölüm ı .5 de, e sayısını böyle tanımlamıştık.) Dolayısıyla, aşağıdaki tanımı verebiliriz. e Sayısının Tanımı elı- e, Jim = ı koşulunu sağlayan sayıdır. lı->0 h Geometrik olarak bu, y = ax üste! fonksiyonları içinde, sadece f(x) = e" fonksiyo nunun (0, 1) noktasındaki teğet doğrusunun eğiminin ı olduğu anlamına gelir. (Bkz. Şekil 6 ve 7 .) y /eğim = e' (x,e') eğim= 1 X X ŞEKiL 6 ŞEKiL 7 196 • ÜNITE 3 TÜREVALMA KURALLARI Denklem 4 de, a =e ve dolayısıyla f'(O) = 1 koyarsak, aşağıdaki önemli türevalma formülünü elde ederiz. Doğal Üste! Fonksiyonun Türevi 1 d -(e-')= ex d.x Bu nedenle, J(x) = ex fonksiyonu, kendisinin türevi olma özelliğini taşır. Bunun geometrik anlamı, y = ex eğrisinin bir noktasındaki teğet doğrusunun eğiminin, o noktanın y koordinatına eşit olmasıdır. ÖRNEK 8 f(x) = ex - x, ise f' ve f" fonksiyonlarını bulunuz. ÇÖZÜM Fark Kuralını kullanarak, d d d f'(x) = -(e-' - x) = -k') - - (x) = e-' - 1 3 d.x d.x d.x elde ederiz. Bölüm 2.8 de ikinci türevi, f' nün türevi olarak tanımladık. Bu nedenle, d d d f"(x) =-(ex - 1) = - (ex) - - (1) = e-' dx dx d.x -2 2 '---~----''o- ---~-___./ elde ederiz. e' fonksiyonunun her x için pozitif olduğunu biliyoruz, bu nedenle her x $EKiL 8 için f"(x) > O olur. Bu nedenle,fnin grafiği ( -oo, oo) aralığında dışbükeydir. Örnek 8 bunu doğrulamaktadır. ÖRNEK 9 y = ex eğrisinin hangi noktasındaki teğet doğrusu y = 2x doğrusuna para leldir? ÇÖZÜM y = ex olduğundan, y' = ex dir. Sorudaki noktanm X koordinatı a olsun. Bu noktadaki teğet doğrusunun eğimi ea olur. Teğet doğrusu, eğimi, y = 2x doğrusunun eğimiyle aynı, bir başka deyişle 2 olduğunda, bu doğruya paralel olacaktır. Eğimleri eşitlersek, X a =In 2 $EKIL 9 elde ederiz. Dolayısıyla, aranılan nokta (a, e•) = (In 2, 2) dir. (Bkz. Şekil 9) ~~ Alıştırmalar · 1. ( a) e sayısı nasıl tanımlanır? 2. (a) f(x) = e·' fonksiyonunun grafiğini, grafiğin y eksenini (b) 2 7" - ı 2 8"- ı nasıl kestiğine özellikle dikkat ederek elle çiziniz. Hangi ~lıi~mo --'-h '-- ve "l~imo '--h - bilgileri kullandınız? (b) f(x) = e.x ve g(x) = x' ne tip fonksiyonlardu? fve g(x) limitlerinin değerlerini, hesap makinesi kullanarak, için kullandığırnız türev alma formüllerini karşılaştınnız. virgülden sonra ikinci hasarnağa kadar doğru olacak şe­ kilde yaklaşık olarak hesaplayınız. e nin değeri hakkında (c) x büyüdüğünde, (b) deki iki fonksiyondan hangisi daha ne gibi bir sonuca varabilirsiniz? hızlı büyür? BÖLÜM 3.1 POLINOMLARIN ÜSTEL FONKSIYONLARlN TÜREVLERI 197 3-22 • Fonksiyonun türevini alıruz. (b) (a) şıkkındaki grafikten eğimi yaklaşık olarak bularak, f' nün grafiğini kabaca elle çiziniz. (Bkz. örnek 1, Bölüm 2.8.) 3. f(x) = 5x - ı 4. F(x) = -4x 10 (c) f'(x) i hesaplayınız ve bu ifadeyi kullanarak bir grafik S. f(x) = 9x4 - 3x2 + 8 çizim aygıtıyla f' nün grafiğini çiziniz. (b) şıkkındaki 6. g(x) = 5x8 - 2x5 + 6 çiziminizle karşılaştınnız. 7. y = x-2/5 8. y =sex+ 3 ~ 36. (a) Grafık çizebilen bir hesap makinesi veya bilgisayar kul 9. G(x) = .jX - 2ex ı o. R(ı) = sJı-W315 l[a-1na, r4a] kx, g[-(8x,) 8=] geöxrü -nti3llxem2 efo dnikksdiöyrotgneunninudne gçriazfdiiğriinniiz . 11 . V(r) = ~ ?Tr3 12. R(x) = - x 7- (b) (a ) şıkkındaki grafikten eğinıi yaklaşık olarak bularak, f' nün grafiğini kabaca elle çiziniz. (Bkz. Örnek 1, Bölüm 2.8.) 13. F(x) = (16x)3 14. y = ..[X(x- 1) (c) g'(x) i hesaplayınız ve bu ifadeyi kullanarak bir grafık ıs. y = 47T2 16. H(s) = (s/2)5 çizim aygıtıyla g' nün grafiğini çiziniz. (b) şıkkındaki x2 + 4x + 3 x2 - 2..[X çiziminizle karşılaştırınız. 17. y = .jX 18. y = ----'-- X 37-38 • Fonksiyonun birinci ve ikinci türevini bulunuz. 19 •V = ı2 - -wı- 20. y = ae' + -bV + -Vc 2 37. f(x) = x4 - 3x3 + 16x 21. z =wyA + Be1 22. u = 02 + 2 Jı3 38. G(r) = jr + .if; ~ 39-40 • Fonksiyonun birinci ve ikinci türevini bulunuz.f, f' ~ 23-28 • f'(x) fonksiyonunu bulunuz.fve f' fonksiyonlannın grafiklerini karşılaştırınız ve yanıtınızın akla yatkınlığını kontrol ve f" nün grafiklerini karşılaştırarak, yanıtlannızın doğruluğunu kontrol ediniz. etmek için bu grafıkleri kullanınız. 23. f(x) = 2x2 - x4 39. f(x) = 2x - 5x314 24. f(x) = 3x5 - 20x3 + 50x 40. f(x) = ex - x3 25. f(x) = 3x15 - 5x3 + 3 26. f(x) = x + -ı X 27. f(x) = x - 3x 113 28. f(x) = x2 + 2ex 41. Bir parçacığın hareket denklemi, s metre ve ı saniye cinsin den olmak üzere, s = ı3 - 3ı olarak verilmektedir. (a) Hız ve ivmeyi ı ye bağlı fonksiyonlar olarak, ~ 29. (a) f(x) = x215 fonksiyonunun grafiğine odaklanarak f'(2) (b) 2 sn sonraki ivmeyi ve değerini yaklaşık olarak bulunuz. (c) hız O iken İvıneyi bulunuz. (b) !'(2) nin gerçek değerini bulınak için Kuvvet Kuralını kul 42. Bir parçacığın hareket denklemi, s metre ve t saniye cinsin lanıruz ve (a) şıkkında bulduğunuz değerle karşılaştırıruz. den olmak üzere, s = 2ı3 - 7t2 + 4t + 1 olarak verilmek ~ 30. (a) f(x) = x2 - 2ex fonksiyonunun grafiğine odaklanarak tedir. f'(l) değerini yaklaşık olarak bulunuz. (a) Hız ve ivmeyi ı ye bağlı fonksiyonlar olarak bulunuz. (b) f'(l) nin gerçek değerini bulunuz ve (a) şıkkında buldu (b) 1 sn sonraki ivmeyi bulunuz. ğunuz değerle karşılaştırınız. ~ (c) Konum, hız ve ivme fonksiyonJannı aynı ekranda çizdiriniz. ~ 31-34 • Eğrinin verilen noktadaki teğet doğrusunun denklerni ni bulunuz. Eğri yi ve teğet doğrusunu aynı ekranda çizdirerek 43. f(x) = 1 + 2ex - 3x fonksiyonu hangi aralıkta artandır? açıklayınız. 4 44. f(x) = x3 - 4x2 + 5x fonksiyonu hangi aralıkta dışbükey­ 31. y = x + -, (2, 4) 32. y = x512, (4, 32) dir? X 33. y =X + ..[X, (1, 2) 34. y = x2 + 2eX, (O, 2) 45. y = x3 - x2 - x + 1 eğrisi üzerinde teğetin yatay olduğu noktalan bulunuz. ~ 35. (a) Grafık çizebilen bir hesap makinesi veya bilgisayar kul 46. Hangi x değerleri için f(x) = 2x3 - 3x2 - 6x + 87 fonk lanarak f(x) = x4 - 3x3 - 6x2 + ?x + 30 fonksiyo siyonunun grafiğinin yatay teğeti vardır? nunun grafiğini [-3, 5] x [-10, 50] lik görüntüleme 47. y = 6x3 + Sx - 3 eğrisinin, eğimi 4 olan bir teğet doğrusu diktörtgeninde çizdiriniz. olmadığım gösteriniz.